ビリヤード玉の問題再考（１）

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中で、数学者天王寺博士が出す問題の一つに、以下の問題があります。

五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。玉には、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？

小説内では解答も解法も載っておらず、読んだ当時に力づくで解きました。しかし、小説内ではさらに以下のようなやり取りがあります。

天王寺博士の宿題について少し議論した。問題は玉の数が五個だったが、四個の場合も問題が成立する。では、六個はどうか、\( n \) 個ではどうか、という話だった。

\( n \) 個の場合に問題が成立するかどうかについては、以前考えてみたものの煮詰まって途中で投げ出しておりました。

以前は力づくで解いたのですが、もう少しスマートな方法はないか、また、\( n \) 個の場合に問題が成立するかどうかについてなど、あらためて考えてみたいと思います。

（以前途中で投げ出した記事はこちら）

５つのビリヤード玉の問題(1)(2)(3)(4)(5)(6)、試行錯誤編(1)(2)

これから考えていくことの方向性としては、次のようなことを考えます。まずは5つのビリヤード玉での問題をどのように解いたのかの整理。次に5つではなく4つとか6つとか他の場合での解き方や解答の確認。そこから一般的な問いや条件、解き方などを見出していき、最終的には、\( n \) 個の場合に問題が成立するかどうか、言い換えると、\( n \) がどのようなときに解答が存在するのか、存在するならばその解き方を、存在しないならばなぜなのかを明らかにできればいいと考えています。

書きながら考えているので、まだ結論はでておりませんので、（以前のように）途中で放棄するかも。

まずは5つのビリヤード玉で、問題をどのように解いたのかの整理していきたいと思います。