有限体Ｆpについて考える

（前回までのあらすじ）
『数学ガール／ガロア理論』を読んで「ガロア理論」に興味を持った僕は、古本屋で『ガロア理論入門』を見つけたので読みはじめた。しかし、文系の僕にとっては「入門」と言えどレベルが高く、読むのに四苦八苦。「数学ガール」シリーズをはじめ、数学読み物やWeb検索で勉強しつつ、なんとか『ガロア理論入門』の内容を理解しようとする。『ガロア理論入門』の各節には練習問題がついていて、現在取り組んでいる問題は、有限体に関する問題だった。

と、ちょっと物語風にこれまでのところをまとめてみました。

現在取り組んでいる問題と解答は次のものです（エミール・アルティン『ガロア理論入門』）。

問題1-4
有限個の要素からなる体を有限体という。有限体Ｋがｑ個の要素をもてば、Ｋの任意の要素ｘは ｘ^q＝ｘを満たすことを証明せよ（実は有限体はすべて可換であることが証明される）。

（解答）
０を除くｑ－１個の要素は乗法に関して位数がｑ－１の群をつくる。よってｘ≠０のときｘ^q-1＝１。よってｘ^q＝ｘ。ｘ＝０もこれを満たす。

解答を読んでもよくわからないため、具体的に有限体の例を使って、問題と解答に書かれていることを確認していきたいと思います。

僕の知っている有限体は、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』に出てきた、有限体Ｆ_pしか知りません。そこで、まずは有限体Ｆ_pを例に、問題と解答の理解につなげたいと思います。「数学ガール」でいうところの《例示は理解の試金石》です。

有限体とは、有限個の要素からなる体です。体の定義はここでは省略します。これから考えていく有限体Ｆ_pは、素数pを法とした剰余環Z/pZです。

Ｆ_p＝Z/pZ＝｛0, 1, 2, …, p－1｝

加法と乗法を mod p（pで割った剰余）で考えます。（環、整数環、剰余環、mod についてもどこかでまとめておきたいですが、ここでは省略します。）

まずは、有限体Ｆ_pをいくつか挙げ、それらの演算表をつくります。

Ｆ₂＝Z/2Z＝｛0, 1｝
Ｆ₃＝Z/3Z＝｛0, 1, 2｝
Ｆ₅＝Z/5Z＝｛0, 1, 2, 3, 4｝
Ｆ₇＝Z/7Z＝｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6｝
…

素数は無限に存在しますので、有限体Ｆ_pの全てを挙げることはできません。ひとまずＦ₇までで。

有限体Ｆ₂とＦ₃の演算表

有限体Ｆ₅の演算表

有限体Ｆ₇の演算表