新しい乗法

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続きです。

$K \subset E$ で、体 $K$ 上の代数的な $E$ の要素 $\alpha$ の最小多項式 $f(x)$ の性質を確認し、いまは次のような要素 $\theta$ のつくる $E$ の部分集合 $E_0$ が体であり、$K ( \alpha )$ であることを示そうとしています。
$$\theta = g( \alpha ) = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha ^{n-1}$$
アルティンは、$E_0$ が体であることを示すために、集合 $E_0$ の模写をはじめます。

　$E_0$ が体であることを示すために、拡大体 $E$ と 要素 $\alpha$ を用いないで集合 $E_0$ を模写してみる。いま $K$ 内の既約多項式
$$f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$$
が与えられたとしよう。
$\xi$ を1つの記号とする。次数が $n$ より小さく $\xi$ の多項式
$$g( \xi ) = c_0 + c_1 \xi + \cdots + c_{n-1} \xi ^{n-1}$$
全体の集合を $E_1$ とする。この集合は加群をなす。ここで $E_1$ の2つの要素 $g( \xi )$ と $h( \xi )$ に対して通常の積のほかに新しい乗法を定義し、それを $g( \xi ) \times h( \xi )$ と表わす。すなわち $g( \xi ) \times h( \xi )$ とは通常の積 $g( \xi ) h( \xi )$ の $f(x)$ を法とした剰余 $r( \xi )$ のことと定義する。するとまず、$g_1 ( \xi )$, $g_2 ( \xi )$ , $\cdots$, $g_m( \xi )$ の積 $g_1 ( \xi ) \times g_2 ( \xi ) \times \cdots \times g_m( \xi )$ は通常の積 $g_1 ( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m( \xi )$ の剰余に等しいことがわかる。この性質は $m = 2$ のときは定義から明らかであり、任意の $m$ に対しては次の性質と数学的帰納法とを用いて示される。その性質とは
“ $g_1( \xi )$ と $g_2( \xi )$ の剰余をそれぞれ $r_1( \xi )$ と $r_2( \xi )$ とすると $g_1( \xi ) g_2( \xi )$ と $r_1( \xi ) r_2( \xi )$ とは同じ剰余をもつ”
ということである。この証明の詳細は読者にまかせよう。

議論の方向性を簡単に例えると、 $E_0$ が体であることを示すために、$E_0$ の模型をつくったようなものです。その模型の名前が $E_1$ で、$E_1$ が体であることを示し、$E_0$ と $E_1$ は同じ型であることを示すことで、$E_0$ が体であることを示そうとしています。

体であるかどうかの確認は、体の定義に当てはまるかどうかです。体の定義は別に載せています（「体の定義」参照）のでここでは詳しくは書きませんが、体には加法と乗法が定義されています。 $E_1$ は加群（加法が定義された可換群）をなすため、加法についてはOK。乗法についてですが、通常の乗法（簡単にいえば掛け算）では閉じていませんので、新しい乗法を定義します。その新しい乗法を $g( \xi ) \times h( \xi )$ と表わし、$g( \xi ) \times h( \xi )$とは通常の積 $g( \xi ) h( \xi )$ の $f(x)$ を法とした剰余 $r( \xi )$ のことと定義します。

このような言葉が適切ではないかもしれませんが、多項式での $\bmod$ ですね。

さて、証明が読者にまかされています。取り組んでみましょう。