解の公式とラグランジュ・リゾルベント(2)

$3$ 次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ として、解の公式とラグランジュ・リゾルベントの関係をみていく。

3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式

$$\begin{eqnarray} x = \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\ \end{eqnarray}$$
ただし、

• $k = 0, 1, 2$
• $\omega$ は $1$ の原始 $3$ 乗根
• $A = - \frac { 27q }{ 2 }$
• $D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3$

とする。

3次方程式のラグランジュ・リゾルベント

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L =& L_3 (1) &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma & \\ R =& L_3 (2) &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma & \\ & L_3 (3) &= \alpha + \beta + \gamma & ( = 0 ) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
解と係数の関係より、$L_3 (3) = 0$ である。

また、解の公式の導出にあたり、以下の値を求めた。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L^3 + R^3 = -27q \\ L^3 R^3 = -27p^3 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L^3 = - \frac { 27q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3} = A + \sqrt{ D } \\ R^3 = - \frac { 27q }{ 2 } - \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3} = A - \sqrt{ D } \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$L^3 = A + \sqrt{ D } , \ R^3 = A - \sqrt{ D }$ なので、解の公式は以下のようにも書ける。

$$\begin{eqnarray} x &=& \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ L^3 } + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ R^3 } \\ &=& \frac {1}{3} \omega ^k L + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} R \\ &=& \frac {1}{3} \omega ^k ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ \end{eqnarray}$$

解の公式の導出の際に、解を $L, R$ で表したが、それと同じである。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\ \beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\ \gamma = \frac {1}{3} ( L+R ) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

明示的に次のように書いてみよう。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} \omega ^2 &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ \beta = \frac {1}{3} \omega &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^2 &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ \gamma = \frac {1}{3} &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

右辺を計算してみよう。

$$\begin{eqnarray} \alpha &=& \frac {1}{3} \omega ^2 ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ &=& \frac {1}{3} \omega ^3 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^4 \beta + \frac {1}{3} \omega ^2 \gamma + \frac {1}{3} \omega ^3 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^2 \beta + \frac {1}{3} \omega \gamma \\ &=& \frac {2}{3} \alpha + \frac {1}{3} ( \omega + \omega ^2 ) \beta + \frac {1}{3} ( \omega ^2 + \omega ) \gamma \\ &=& \frac {2}{3} \alpha - \frac {1}{3} \beta - \frac {1}{3} \gamma \\\\ \beta &=& \frac {1}{3} \omega ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^2 ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ &=& \frac {1}{3} \omega ^2 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^3 \beta + \frac {1}{3} \omega \gamma + \frac {1}{3} \omega ^4 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^3 \beta + \frac {1}{3} \omega ^2 \gamma \\ &=& - \frac {1}{3} \alpha + \frac {2}{3} \beta - \frac {1}{3} \gamma \\\\ \gamma &=& \frac {1}{3} ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ &=& \frac {1}{3} \omega \alpha + \frac {1}{3} \omega ^2 \beta + \frac {1}{3} \gamma + \frac {1}{3} \omega ^2 \alpha + \frac {1}{3} \omega \beta + \frac {1}{3} \gamma \\ &=& - \frac {1}{3} \alpha - \frac {1}{3} \beta + \frac {2}{3} \gamma \\ \end{eqnarray}$$

気持ち的には、2次方程式のように、それぞれの解が出てくる（うまい言い方が思いつかない）ようになってほしかったが、そううまくはいかなかった。ひょっとすると、ここで考えている3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ には、$x^2$ の項 がなく、解と係数の関係により $\alpha + \beta + \gamma = 0$ であるため、見えていないだけかもしれない。

そこで、3次方程式 $ay^3 + by^2 + cy +d = 0$ の解の公式を求め、そこでラグランジュ・リゾルベントとの関係を確認していきたい。