解の公式とラグランジュ・リゾルベント(2)

\( 3 \) 次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解を \( \alpha, \beta, \gamma \) として、解の公式とラグランジュ・リゾルベントの関係をみていく。

3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式

$$
\begin{eqnarray}
x = \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\
\end{eqnarray}
$$
ただし、

• \( k = 0, 1, 2 \)
• \( \omega \) は \( 1 \) の原始 \( 3 \) 乗根
• \( A = - \frac { 27q }{ 2 } \)
• \( D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \)

とする。

3次方程式のラグランジュ・リゾルベント

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L =& L_3 (1) &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma & \\
R =& L_3 (2) &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma & \\
& L_3 (3) &= \alpha + \beta + \gamma & ( = 0 )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
解と係数の関係より、\( L_3 (3) = 0 \) である。

また、解の公式の導出にあたり、以下の値を求めた。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L^3 + R^3 = -27q \\
L^3 R^3 = -27p^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L^3 = - \frac { 27q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3} = A + \sqrt{ D } \\
R^3 = - \frac { 27q }{ 2 } - \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3} = A - \sqrt{ D }
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

\( L^3 = A + \sqrt{ D } , \ R^3 = A - \sqrt{ D } \) なので、解の公式は以下のようにも書ける。

$$
\begin{eqnarray}
x &=& \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ L^3 } + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ R^3 } \\
&=& \frac {1}{3} \omega ^k L + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} R \\
&=& \frac {1}{3} \omega ^k ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
\end{eqnarray}
$$

解の公式の導出の際に、解を \( L, R \) で表したが、それと同じである。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\
\beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\
\gamma = \frac {1}{3} ( L+R )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

明示的に次のように書いてみよう。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} \omega ^2 &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
\beta = \frac {1}{3} \omega &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^2 &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
\gamma = \frac {1}{3} &( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} &( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

右辺を計算してみよう。

$$
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac {1}{3} \omega ^2 ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
&=& \frac {1}{3} \omega ^3 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^4 \beta + \frac {1}{3} \omega ^2 \gamma + \frac {1}{3} \omega ^3 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^2 \beta + \frac {1}{3} \omega \gamma \\
&=& \frac {2}{3} \alpha + \frac {1}{3} ( \omega + \omega ^2 ) \beta + \frac {1}{3} ( \omega ^2 + \omega ) \gamma \\
&=& \frac {2}{3} \alpha - \frac {1}{3} \beta - \frac {1}{3} \gamma \\\\

\beta &=& \frac {1}{3} \omega ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} \omega ^2 ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
&=& \frac {1}{3} \omega ^2 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^3 \beta + \frac {1}{3} \omega \gamma + \frac {1}{3} \omega ^4 \alpha + \frac {1}{3} \omega ^3 \beta + \frac {1}{3} \omega ^2 \gamma \\
&=& - \frac {1}{3} \alpha + \frac {2}{3} \beta - \frac {1}{3} \gamma \\\\

\gamma &=& \frac {1}{3} ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma ) + \frac {1}{3} ( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
&=& \frac {1}{3} \omega \alpha + \frac {1}{3} \omega ^2 \beta + \frac {1}{3} \gamma + \frac {1}{3} \omega ^2 \alpha + \frac {1}{3} \omega \beta + \frac {1}{3} \gamma \\
&=& - \frac {1}{3} \alpha - \frac {1}{3} \beta + \frac {2}{3} \gamma \\
\end{eqnarray}
$$

気持ち的には、2次方程式のように、それぞれの解が出てくる（うまい言い方が思いつかない）ようになってほしかったが、そううまくはいかなかった。ひょっとすると、ここで考えている3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) には、\( x^2 \) の項 がなく、解と係数の関係により \( \alpha + \beta + \gamma = 0 \) であるため、見えていないだけかもしれない。

そこで、3次方程式 \( ay^3 + by^2 + cy +d = 0 \) の解の公式を求め、そこでラグランジュ・リゾルベントとの関係を確認していきたい。