3次方程式の解の公式の導出(6)

3次方程式の解の公式の導出(1)(2)(3)(4)(5)

ラグランジュ・リゾルベントを使った3次方程式の解の公式の導出について、前回は \( L^3 + R^3, L^3 R^3 \) を求めてから、\( L^3 , R^3 \) そして、 \( L, R \) を求めてきました。

3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の3つの解を、\( \alpha , \beta , \gamma \) として、

3次方程式の解と係数の関係

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma = 0 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\
\alpha \beta \gamma = -q
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$

ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\
R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{2}
$$

解を \( L, R \) で表す

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\
\beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\
\gamma = \frac {1}{3} ( L+R )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{3}
$$

\( L^3 + R^3, L^3 R^3 \) を係数で表す

$$
L^3 + R^3 = -27q, \qquad L^3 R^3 = -27p^3　\\
\tag{4}
$$

\( L^3 , R^3 \) を係数で表す

$$
L^3 = A + \sqrt{ D }, \qquad R^3 = A - \sqrt{ D } \\
\tag{5}
$$

\( L , R \) を係数で表す

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\
R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{6}
$$

（ \( (5), (6) \) の \( A, D \) は以下）

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = - \frac { 27q }{ 2 } \\
D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

最後、\( (6) \) を \( (3) \) に代入すれば、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式となります。

ここで、前回の最後の部分、\( (5) \) から \( (6) \) を求める部分について補足です。\( L^3 = A + \sqrt{ D } \) から \( L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \) としましたが、3乗根なので解は3つになるのに、なんで \( (6) \) となるのだ、\( R \) についても同様です。

$$
L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \quad \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \quad \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\
R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}, \quad \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}, \quad \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}
$$

カルダノの方法のときも同じ議論をしましたが、\( L \) が3通り、\( R \) が3通りの解なので、\( L \) と \( R \) の組み合わせは9通りあります。カルダノの方法のときと同様の条件を探してみると、\( L^3 R^3 \) を求める際に \( LR \) を求めました。\( LR = -3p \) です。この条件に当てはまる \( L \) と \( R \) の組み合わせは3通りになります。

$$
\begin{eqnarray}
( L, R ) &=& \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right), \\
& & \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right), \\
& & \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right)
\end{eqnarray}
$$

\( (6) \) を \( (3) \) に代入して、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式をつくるとわかりますが、この組み合わせならば、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の3つの解は定まります。

最後、\( (6) \) を \( (3) \) に代入して、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式となります。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\beta = \frac {1}{3} \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\gamma = \frac {1}{3} \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

ただし、\( \omega \) は、1の原始3乗根のひとつで、

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = - \frac { 27q }{ 2 } \\
D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

とします。