3次方程式の解の公式の導出(6)

3次方程式の解の公式の導出(1)(2)(3)(4)(5)

ラグランジュ・リゾルベントを使った3次方程式の解の公式の導出について、前回は $L^3 + R^3, L^3 R^3$ を求めてから、$L^3 , R^3$ そして、 $L, R$ を求めてきました。

3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の3つの解を、$\alpha , \beta , \gamma$ として、

3次方程式の解と係数の関係

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\ \alpha \beta \gamma = -q \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1}$$

ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\ R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{2}$$

解を $L, R$ で表す

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\ \beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\ \gamma = \frac {1}{3} ( L+R ) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{3}$$

$L^3 + R^3, L^3 R^3$ を係数で表す

$$L^3 + R^3 = -27q, \qquad L^3 R^3 = -27p^3　\\ \tag{4}$$

$L^3 , R^3$ を係数で表す

$$L^3 = A + \sqrt{ D }, \qquad R^3 = A - \sqrt{ D } \\ \tag{5}$$

$L , R$ を係数で表す

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\ R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{6}$$

（ $(5), (6)$ の $A, D$ は以下）

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac { 27q }{ 2 } \\ D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

最後、$(6)$ を $(3)$ に代入すれば、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式となります。

ここで、前回の最後の部分、$(5)$ から $(6)$ を求める部分について補足です。$L^3 = A + \sqrt{ D }$ から $L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}$ としましたが、3乗根なので解は3つになるのに、なんで $(6)$ となるのだ、$R$ についても同様です。

$$L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \quad \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \quad \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\ R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}, \quad \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}, \quad \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}$$

カルダノの方法のときも同じ議論をしましたが、$L$ が3通り、$R$ が3通りの解なので、$L$ と $R$ の組み合わせは9通りあります。カルダノの方法のときと同様の条件を探してみると、$L^3 R^3$ を求める際に $LR$ を求めました。$LR = -3p$ です。この条件に当てはまる $L$ と $R$ の組み合わせは3通りになります。

$$\begin{eqnarray} ( L, R ) &=& \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right), \\ & & \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right), \\ & & \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}, \ \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \end{eqnarray}$$

$(6)$ を $(3)$ に代入して、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式をつくるとわかりますが、この組み合わせならば、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の3つの解は定まります。

最後、$(6)$ を $(3)$ に代入して、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式となります。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \beta = \frac {1}{3} \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \gamma = \frac {1}{3} \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

ただし、$\omega$ は、1の原始3乗根のひとつで、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac { 27q }{ 2 } \\ D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

とします。