第2章第2節の節末問題（問題2-3解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題、問題2-3の解答です。あいかわらず自分では思いつかないので、解答を確認していきます。

問題2-3　整数全体の集合を $Z$ とし、整数を係数とする $x$ の多項式の全体の集合を $Z[x]$ とする。$f(x) \in Z[x]$ に対して $f(x) = a f_0 (x)$ となる $a \in Z , f_0 (x) \in Z[x]$ が存在するとき $a \mid f(x)$ で表わす。いま $p$ を素数とし $g(x), h(x) \in Z[x]$ とするとき $p \mid g(x)h(x)$ ならば $p \mid g(x)$ または $p \mid h(x)$ を示せ。

解答　$p \mid g(x)h(x)$ であって $p \nmid g(x)$, $p \nmid h(x)$ であるとする。

$g(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots$
$h(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots$
（ある次数以上の項は係数を0とおく）

とし、$g(x) , h(x)$ の $p$ で割りきれない最初の係数を、それぞれ $b_j , c_k$ とする。このとき $g(x) h(x)$ の $x^{j+k}$ の係数は次のようになる。

$b_0 c_{j+k} + b_1 c_{j+k-1} + \cdots + b_j c_k + \cdots + b_{j+k} c_0$

ここで $b_0 , b_1, \cdots , b_{j-1} ；c_{k-1} , c_{k-2}, \cdots , c_0$ はすべて $p$ で割りきれるので $b_j c_k$ 以外の項は $p$ で割りきれ、$b_j c_k$ の項は $p$ で割りきれない。よって $x^{j+k}$ の係数は $p$ で割りきれないので $p \mid g(x)h(x)$ に反する。

背理法を使った証明です。$a \mid f(x)$ は、「 $f(x)$ は $a$ で割りきれる」という意味ですね。$a \nmid f(x)$ は、「 $f(x)$ は $a$ で割りきれない」という意味です。

$p \mid g(x)h(x)$ であって $p \nmid g(x)$, $p \nmid h(x)$ であると仮定して、論を進めたところ、$p \nmid g(x)h(x)$ となってしまった。なので仮定が誤りであり、 $p \mid g(x)h(x)$ ならば $p \mid g(x)$ または $p \mid h(x)$ であると証明しています。

証明自体は読めば理解はできるのですが、このような証明を思いつくのは、慣れなのですかね……。