第2章第2節の節末問題（問題2-3解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題、問題2-3の解答です。あいかわらず自分では思いつかないので、解答を確認していきます。

問題2-3　整数全体の集合を \( Z \) とし、整数を係数とする \( x \) の多項式の全体の集合を \( Z[x] \) とする。\( f(x) \in Z[x] \) に対して \( f(x) = a f_0 (x) \) となる \( a \in Z , f_0 (x) \in Z[x] \) が存在するとき \( a \mid f(x) \) で表わす。いま \( p \) を素数とし \( g(x), h(x) \in Z[x] \) とするとき \( p \mid g(x)h(x) \) ならば \( p \mid g(x) \) または \( p \mid h(x) \) を示せ。

解答　\( p \mid g(x)h(x) \) であって \( p \nmid g(x) \), \( p \nmid h(x) \) であるとする。

\( g(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots \)
\( h(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots \)
（ある次数以上の項は係数を0とおく）

とし、\( g(x) , h(x) \) の \( p \) で割りきれない最初の係数を、それぞれ \( b_j , c_k \) とする。このとき \( g(x) h(x) \) の \( x^{j+k} \) の係数は次のようになる。

\( b_0 c_{j+k} + b_1 c_{j+k-1} + \cdots + b_j c_k + \cdots + b_{j+k} c_0 \)

ここで \( b_0 , b_1, \cdots , b_{j-1} ；c_{k-1} , c_{k-2}, \cdots , c_0 \) はすべて \( p \) で割りきれるので \( b_j c_k \) 以外の項は \( p \) で割りきれ、\( b_j c_k \) の項は \( p \) で割りきれない。よって \( x^{j+k} \) の係数は \( p \) で割りきれないので \( p \mid g(x)h(x) \) に反する。

背理法を使った証明です。\( a \mid f(x) \) は、「 \( f(x) \) は \( a \) で割りきれる」という意味ですね。\( a \nmid f(x) \) は、「 \( f(x) \) は \( a \) で割りきれない」という意味です。

\( p \mid g(x)h(x) \) であって \( p \nmid g(x) \), \( p \nmid h(x) \) であると仮定して、論を進めたところ、\( p \nmid g(x)h(x) \) となってしまった。なので仮定が誤りであり、 \( p \mid g(x)h(x) \) ならば \( p \mid g(x) \) または \( p \mid h(x) \) であると証明しています。

証明自体は読めば理解はできるのですが、このような証明を思いつくのは、慣れなのですかね……。