ビリヤードの問題再考（４）

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中でのビリヤード玉の問題についてあらためて考えています。

前回、このビリヤードの問題を一般化して考えるとどのような問題になるのかについて考えてみました。現時点では次のようなことを考えています。

\( n \) 個の自然数が、真珠のネックレスのように、リングでつながっている。この \( n \) 個の自然数のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れない。一つでも、二つでも、\( n \) 個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った自然数を足し合わせて、1から \( n(n-1)+1 \) までのすべての自然数ができるようにしたい。\( n \) がどのようなときに成り立つだろうか。あるいはどのようなときに成り立たないだろうか。

考え方も一般化していきたいので、さらに記号を導入していきます。ひょっとすると使わないような記号や定義があるかもしれませんが、考えられるだけ考えておきます。

まずは、\( n \) 個の自然数がリングでつながっている状態を図ではなく、数式のように表していくことを考えました。5個のビリヤード玉の問題を解いたときにはＡ－Ｂ－Ｃ－Ｄ－Ｅというような表記の仕方をしましたが、今後は一般化をみこして、ここでは \( \langle a_5 \rangle \) と表記していきます。\( \langle a_5 \rangle \) は、5個の自然数 \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \) がこの順序でリング状につながっていることを表します。\( \langle a_n \rangle \) ならば、\( n \) 個の自然数が、右回りで \( a_1, a_2, \cdots, a_n \) とつながっていて、最後の \( a_n \) が \( a_1 \) につながっています。 当然のこと（？）ながら、\( a_1, a_2, \cdots, a_n \) は自然数です。

なので、\( \langle a_n \rangle \) を循環する数列とみることもできます。\( \langle a_5 \rangle \) ならば、 \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_1, a_2, \cdots \) と続いていく数列です。ここでは循環数列と呼んでいきます。循環数列という言葉はあるようですが、一般の循環数列の定義をしっかりとは知らないので、一般的な循環数列の定義とは異なるかもしれません。

循環小数で循環する間隔（？）のことを長さと表現します。\( 0.121212\cdots \) ならば \( 12 \) が循環しているので循環の長さは \( 2 \) となります。\( 0.333333\cdots \) ならば長さは \( 1 \) 、\( 0.456745674567\cdots \) ならば、長さは \( 4 \) です。

ここでの循環数列 \( \langle a_n \rangle \) も、循環小数での言葉にならい、長さ \( n \) の循環数列と呼びます。\( \langle a_5 \rangle \) は、長さ \( 5 \) の循環数列です。また、数列にならい、 \( a_1, a_2, \cdots, a_n \) を初項（第1項）、第2項、…、第 \( n \) 項と呼びます（「第」をつけず単に \( n \) と呼ぶ場合もあり）。第 \( n+1 \) 項ということも言いますが、（長さ \( n \) の場合、）値としては第1項と同じ値です。

また、ここで考えていく循環数列の特徴として、「この \( n \) 個の自然数のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れない。一つでも、二つでも、\( n \) 個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った自然数を足し合わせて、1から \( n(n-1)+1 \) までのすべての自然数ができるようにしたい」ということがあります。そこで、この特徴を表せるような表記も考えておきます。簡略化となるかどうかはわかりませんが、一応簡略化のための表記です。（逆にわかりにくくなってしまいこの表記ボツにするかもしれません。）

この条件での取り出し方のひとつに、\( a_1, a_2, \cdots, a_n \) の初項 \( a_1 \) と第2項 \( a_2 \) を取り出すということがあります。そして、\( a_1 + a_2 \) を計算することになります。この \( a_1 + a_2 \) を、\( a(2) _1 \) と表したいと思います。\( a(2) _1 = a_1 + a_2 \) です。括弧()の中の2は2つの項を足したという意味で、添字は足し算の最初の項という意味です。\( a(3) _1 \) ならば、\( a(3) _1 = a_1 + a_2 + a_3 \)、\( a(4) _2 \) ならば \( a(4)_2 = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \) という意味です。循環の長さより大きな項が出てきたときは、同じ値の項に変換します（ここはうまく表現できていませんが、やっていくうちにわかるかと思います）。

もうひとつ、表記の仕方の（ここでの）ルールとして、次のようなことを挙げておきます。

以前、5個のビリヤード玉での解答として①－⑤－②－⑩－③（－①）を挙げましたが、これは①－③－⑩－②－⑤（－①）と同じものと見なします。この2つは、右回りか左回りの違い、別の表現では裏返したら同じです。また、⑤－②－⑩－③－①（－⑤）も同じものです。同じものを表すのに、いくつもの表記があるとわかりにくいので、①を初項として表記することを基本として、②がなるべく前にあるものを代表として表記とします。もしかすると計算過程などでこのルールとズレることがあるかもしれませんので、そこまで厳密ではありません。

まぁ、うだうだと書いておりますが、あまり考えが進んでいないことはわかったかと思います。