3次方程式の解の公式の導出（カルダノの方法についての補足）

3次方程式の解の導出について、Wikipediaの「三次方程式」の項を読んでいたら、カルダノの方法の説明についてわかりやすい内容が載っていた。$x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z$ の因数分解からの説明である。

$x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z$ は、次のように因数分解できる。

$$\begin{eqnarray} x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z &=& (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 − z x − x y − y z) \\ &=& (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)( x + \omega ^2 y + \omega z) \end{eqnarray}$$

この式 $x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z$ の、$y^3 + z^3$ を $q$ 、$-3yz$ を $p$ とおくと、三次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の左辺となる。

$$\begin{eqnarray} & & x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z \\ &=& x^3 + ( y^3 + z^3 ) + ( − 3 y z ) x \\ &=& x^3 + q + px \\ &=& x^3 + px + q \\ \end{eqnarray}$$

そこで、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y^3 + z^3 = q \\ -3zy = p \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

から、$y, z$ を求めることにより、三次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の左辺が因数分解できて、解を求めることができるということである。

$$\begin{eqnarray} x^3 + px + q &=& 0 \\ (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)( x + \omega ^2 y + \omega z) &=& 0 \end{eqnarray}$$