3次方程式の解の公式の導出（カルダノの方法についての補足）

3次方程式の解の導出について、Wikipediaの「三次方程式」の項を読んでいたら、カルダノの方法の説明についてわかりやすい内容が載っていた。\( x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z \) の因数分解からの説明である。

\( x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z \) は、次のように因数分解できる。

$$
\begin{eqnarray}
x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z &=& (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2 − z x − x y − y z) \\
&=& (x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)( x + \omega ^2 y + \omega z)
\end{eqnarray}
$$

この式 \( x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z \) の、\( y^3 + z^3 \) を \( q \) 、\( -3yz \) を \( p \) とおくと、三次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の左辺となる。

$$
\begin{eqnarray}
& & x^3 + y^3 + z^3 − 3 x y z \\
&=& x^3 + ( y^3 + z^3 ) + ( − 3 y z ) x \\
&=& x^3 + q + px \\
&=& x^3 + px + q \\
\end{eqnarray}
$$

そこで、

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
y^3 + z^3 = q \\
-3zy = p
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

から、\( y, z \) を求めることにより、三次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の左辺が因数分解できて、解を求めることができるということである。

$$
\begin{eqnarray}
x^3 + px + q &=& 0 \\
(x + y + z)(x + \omega y + \omega^2 z)( x + \omega ^2 y + \omega z) &=& 0
\end{eqnarray}
$$