第2章第1節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第1節の節末問題です。

問題1-1　\( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} \) は有理数体に属さないことを示せ。

問題1-2　\( \mathbb{ Q } \) を有理数体とするとき

\( \mathbb{ Q } ( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{ Q } \} , \qquad ( \mathbb{ Q } ( \sqrt{2} ) / \mathbb{ Q } ) = 2 \)

を証明せよ。

問題1-3　\( \omega \) を1の立方根 \( \frac { -1 + \sqrt{3} i }{ 2 } \) とするとき、\( \mathbb{ Q } ( \omega ) = \mathbb{ Q } ( \sqrt{3} i ) \) を示せ。また \( \mathbb{ Q } ( \omega ) / \mathbb{ Q } \) はいくらか。

問題1-4　\( \mathbb{ Q } \) を有理数体とするとき \( ( \mathbb{ Q } ( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) / \mathbb{ Q } ) \) を求めよ。

問題1-5　\( K \subset B \subset E \) を3つの有限次拡大体の列とするとき次を証明せよ。

(1) \( ( B/K ) = 1 \Longleftrightarrow B = K \)
(2) \( ( E/K ) = ( E/B ) \Longleftrightarrow B = K \)
(3) \( ( B/K ) = ( E/K ) \Longleftrightarrow E = B \)

問題1-6　\( ( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q \) で \( p, q \) が素数ならば \( E_1 = E_2 \) または \( E_1 \cap E_2 = K \) であることを示せ。

ここでは1-1から1-5の解答は省略。問題1-6を取り上げます。

（問題1-6の解答はこちら）