第2章第1節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第1節の節末問題です。

問題1-1　$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$ は有理数体に属さないことを示せ。

問題1-2　$\mathbb{ Q }$ を有理数体とするとき

$\mathbb{ Q } ( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{ Q } \} , \qquad ( \mathbb{ Q } ( \sqrt{2} ) / \mathbb{ Q } ) = 2$

を証明せよ。

問題1-3　$\omega$ を1の立方根 $\frac { -1 + \sqrt{3} i }{ 2 }$ とするとき、$\mathbb{ Q } ( \omega ) = \mathbb{ Q } ( \sqrt{3} i )$ を示せ。また $\mathbb{ Q } ( \omega ) / \mathbb{ Q }$ はいくらか。

問題1-4　$\mathbb{ Q }$ を有理数体とするとき $( \mathbb{ Q } ( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) / \mathbb{ Q } )$ を求めよ。

問題1-5　$K \subset B \subset E$ を3つの有限次拡大体の列とするとき次を証明せよ。

(1) $( B/K ) = 1 \Longleftrightarrow B = K$
(2) $( E/K ) = ( E/B ) \Longleftrightarrow B = K$
(3) $( B/K ) = ( E/K ) \Longleftrightarrow E = B$

問題1-6　$( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q$ で $p, q$ が素数ならば $E_1 = E_2$ または $E_1 \cap E_2 = K$ であることを示せ。

ここでは1-1から1-5の解答は省略。問題1-6を取り上げます。

（問題1-6の解答はこちら）