3次方程式の解の公式の導出(5)

3次方程式の解の公式の導出(1)(2)(3)(4)

ラグランジュ・リゾルベントを用いた3次方程式の解の公式の導出について、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解を $\alpha , \beta , \gamma$として、これまで以下のことを見てきました。

3次方程式の解と係数の関係

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\ \alpha \beta \gamma = -q \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1}$$

ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\ R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{2}$$

解を $L, R$ で表す

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\ \beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\ \gamma = \frac {1}{3} ( L+R ) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{3}$$

$\omega$ は1の原始3乗根の1つです。

これから $L, R$ を3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の係数（ $p , q$ ）を使って表していきたいのですが、その準備として、$L^3 + R^3, L^3 R^3$ を求めていきます。

まずは、$L^3 + R^3$ から。$L^3 + R^3$ は次のような積の形に変形することができます。ここでは確かめませんが、右辺を展開すると左辺となります。

$$L^3 + R^3 = ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R )$$

解を $L, R$ で表した式 $(3)$ の3つめの式（ $\gamma$ の式）から、$L+R = 3 \gamma$ がすぐにわかります。また、1つめの式（ $\alpha$ の式）からは、両辺に $3 \omega$ を掛けて $L + \omega ^2 R = 3 \omega \alpha$ 、2つめの式（ $\beta$ の式）では $3 \omega ^2$ を掛けて、$L + \omega R = 3 \omega ^2 \beta$ が求まります。よって、

$$\begin{eqnarray} L^3 + R^3 &=& ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R ) \\ &=& 3 \gamma \cdot 3 \omega ^2 \beta \cdot 3 \omega \alpha \\ &=& 27 \alpha \beta \gamma \\ \end{eqnarray}$$

解と係数の関係（ $\alpha \beta \gamma = -q$ ）より、$L^3 + R^3 = -27q$ となります。

続いて、$L^3 R^3$ を求めていきます。$L^3 R^3 = (LR)^3$ ですので、先に $LR$ を求めます。

$$\begin{eqnarray} LR &=& ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma )( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\ &=& \omega ^3 \alpha ^2 + \omega ^2 \alpha \beta + \omega \gamma \alpha + \omega ^4 \alpha \beta + \omega ^3 \beta ^2 + \omega ^2 \beta \gamma + \omega ^2 \gamma \alpha + \omega \beta \gamma + \gamma ^2 \\ &=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + ( \omega + \omega ^2 ) \alpha \beta + ( \omega + \omega ^2 ) \beta \gamma + ( \omega + \omega ^2 ) \gamma \alpha \\ &=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + ( \omega + \omega ^2 ) ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\ &=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 - p \end{eqnarray}$$

上の最後のところでは、$\omega ^2 + \omega + 1 = 0$ と、解と係数の関係の第2式 $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p$ を使っています。

$\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2$ が残っていますが、解と係数の関係の第1式と第2式を使って、次のように求めることができます。

$$\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma &=& 0 \\ ( \alpha + \beta + \gamma )^2 &=& 0 \\ \alpha ^2 + \alpha \beta + \gamma \alpha + \alpha \beta + \beta ^2 + \beta \gamma + \gamma \alpha + \beta \gamma + \gamma ^2 &=& 0 \\ \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\ \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2p \end{eqnarray}$$

つまり、$LR = -3p$ となり、$L^3 R^3 = -27p^3$ となります。

これで、求めようとしていた $L^3 + R^3, L^3 R^3$ がわかりました。$L^3, R^3$ の和と積がわかったということになります。

$$L^3 + R^3 = -27q, \qquad L^3 R^3 = -27p^3　\\ \tag{4}$$

和と積がわかったということは、次の2次方程式を解けば $L^3, R^3$ がわかります。

$$\begin{eqnarray} ( Y - L^3 )( Y - R^3 ) &=& 0 \\ Y^2 - ( L^3 + R^3 )Y + L^3 R^3 &=& 0 \\ Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0 \end{eqnarray}$$

2次方程式の解の公式を使って、

$$\begin{eqnarray} Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0 \\ Y &=& \frac { - 27q \pm \sqrt{(27q)^2 - 4 \cdot ( -27p^3 )}}{ 2 } \\ &=& - \frac { 27q }{ 2 } \pm \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3} \end{eqnarray}$$

この2つの解が、$L^3, R^3$ に相当します。どちらがどちらでもいいのですが、$L^3$ を根号の前の符号が＋の方、$R^3$ を－の方とすると、

$$L^3 = - \frac { 27q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}, \qquad R^3 = - \frac { 27q }{ 2 } - \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}$$

となります。『数学ガール／ガロア理論』での記述に倣い、表記の簡略化のために

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac { 27q }{ 2 } \\ D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

とすると、$L^3, R^3$ は、

$$L^3 = A + \sqrt{ D }, \qquad R^3 = A - \sqrt{ D } \\ \tag{5}$$

となります。

$L^3, R^3$ が求まったので、$L, R$ が求まります。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\ R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{6}$$

です。

（3次方程式の解の公式の導出(6)へ続く）