ラグランジュ・リゾルベントを用いた3次方程式の解の公式の導出について、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解を \( \alpha , \beta , \gamma \)として、これまで以下のことを見てきました。
3次方程式の解と係数の関係
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma = 0 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\
\alpha \beta \gamma = -q
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma = 0 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\
\alpha \beta \gamma = -q
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$
ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\
R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{2}
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\
R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{2}
$$
解を \( L, R \) で表す
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\
\beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\
\gamma = \frac {1}{3} ( L+R )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{3}
$$
\( \omega \) は1の原始3乗根の1つです。\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\
\beta = \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\
\gamma = \frac {1}{3} ( L+R )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{3}
$$
これから \( L, R \) を3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の係数（ \( p , q \) ）を使って表していきたいのですが、その準備として、\( L^3 + R^3, L^3 R^3 \) を求めていきます。
まずは、\( L^3 + R^3 \) から。\( L^3 + R^3 \) は次のような積の形に変形することができます。ここでは確かめませんが、右辺を展開すると左辺となります。
$$
L^3 + R^3 = ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R )
$$
解を \( L, R \) で表した式 \( (3) \) の3つめの式（ \( \gamma \) の式）から、\( L+R = 3 \gamma \) がすぐにわかります。また、1つめの式（ \( \alpha \) の式）からは、両辺に \( 3 \omega \) を掛けて \( L + \omega ^2 R = 3 \omega \alpha \) 、2つめの式（ \( \beta \) の式）では \( 3 \omega ^2 \) を掛けて、\( L + \omega R = 3 \omega ^2 \beta \) が求まります。よって、L^3 + R^3 = ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R )
$$
$$
\begin{eqnarray}
L^3 + R^3 &=& ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R ) \\
&=& 3 \gamma \cdot 3 \omega ^2 \beta \cdot 3 \omega \alpha \\
&=& 27 \alpha \beta \gamma \\
\end{eqnarray}
$$
解と係数の関係（ \( \alpha \beta \gamma = -q \) ）より、\( L^3 + R^3 = -27q \) となります。\begin{eqnarray}
L^3 + R^3 &=& ( L + R )( L + \omega R )( L + \omega ^2 R ) \\
&=& 3 \gamma \cdot 3 \omega ^2 \beta \cdot 3 \omega \alpha \\
&=& 27 \alpha \beta \gamma \\
\end{eqnarray}
$$
続いて、\( L^3 R^3 \) を求めていきます。\( L^3 R^3 = (LR)^3 \) ですので、先に \( LR \) を求めます。
$$
\begin{eqnarray}
LR &=& ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma )( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
&=& \omega ^3 \alpha ^2 + \omega ^2 \alpha \beta + \omega \gamma \alpha
+ \omega ^4 \alpha \beta + \omega ^3 \beta ^2 + \omega ^2 \beta \gamma
+ \omega ^2 \gamma \alpha + \omega \beta \gamma + \gamma ^2 \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2
+ ( \omega + \omega ^2 ) \alpha \beta + ( \omega + \omega ^2 ) \beta \gamma + ( \omega + \omega ^2 ) \gamma \alpha \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + ( \omega + \omega ^2 ) ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 - p
\end{eqnarray}
$$
上の最後のところでは、\( \omega ^2 + \omega + 1 = 0 \) と、解と係数の関係の第2式 \( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \) を使っています。\begin{eqnarray}
LR &=& ( \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma )( \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma ) \\
&=& \omega ^3 \alpha ^2 + \omega ^2 \alpha \beta + \omega \gamma \alpha
+ \omega ^4 \alpha \beta + \omega ^3 \beta ^2 + \omega ^2 \beta \gamma
+ \omega ^2 \gamma \alpha + \omega \beta \gamma + \gamma ^2 \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2
+ ( \omega + \omega ^2 ) \alpha \beta + ( \omega + \omega ^2 ) \beta \gamma + ( \omega + \omega ^2 ) \gamma \alpha \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 + ( \omega + \omega ^2 ) ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\
&=& \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 - p
\end{eqnarray}
$$
\( \alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 \) が残っていますが、解と係数の関係の第1式と第2式を使って、次のように求めることができます。
$$
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta + \gamma &=& 0 \\
( \alpha + \beta + \gamma )^2 &=& 0 \\
\alpha ^2 + \alpha \beta + \gamma \alpha + \alpha \beta + \beta ^2 + \beta \gamma + \gamma \alpha + \beta \gamma + \gamma ^2 &=& 0 \\
\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\
\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2p
\end{eqnarray}
$$
つまり、\( LR = -3p \) となり、\( L^3 R^3 = -27p^3 \) となります。\begin{eqnarray}
\alpha + \beta + \gamma &=& 0 \\
( \alpha + \beta + \gamma )^2 &=& 0 \\
\alpha ^2 + \alpha \beta + \gamma \alpha + \alpha \beta + \beta ^2 + \beta \gamma + \gamma \alpha + \beta \gamma + \gamma ^2 &=& 0 \\
\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\
\alpha ^2 + \beta ^2 + \gamma ^2 &=& -2p
\end{eqnarray}
$$
これで、求めようとしていた \( L^3 + R^3, L^3 R^3 \) がわかりました。\( L^3, R^3 \) の和と積がわかったということになります。
$$
L^3 + R^3 = -27q, \qquad L^3 R^3 = -27p^3 \\
\tag{4}
$$
和と積がわかったということは、次の2次方程式を解けば \( L^3, R^3 \) がわかります。L^3 + R^3 = -27q, \qquad L^3 R^3 = -27p^3 \\
\tag{4}
$$
$$
\begin{eqnarray}
( Y - L^3 )( Y - R^3 ) &=& 0 \\
Y^2 - ( L^3 + R^3 )Y + L^3 R^3 &=& 0 \\
Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0
\end{eqnarray}
$$
2次方程式の解の公式を使って、\begin{eqnarray}
( Y - L^3 )( Y - R^3 ) &=& 0 \\
Y^2 - ( L^3 + R^3 )Y + L^3 R^3 &=& 0 \\
Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0
\end{eqnarray}
$$
$$
\begin{eqnarray}
Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0 \\
Y &=& \frac { - 27q \pm \sqrt{(27q)^2 - 4 \cdot ( -27p^3 )}}{ 2 } \\
&=& - \frac { 27q }{ 2 } \pm \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}
\end{eqnarray}
$$
この2つの解が、\( L^3, R^3 \) に相当します。どちらがどちらでもいいのですが、\( L^3 \) を根号の前の符号が＋の方、\( R^3 \) を－の方とすると、\begin{eqnarray}
Y^2 + 27qY - 27p^3 &=& 0 \\
Y &=& \frac { - 27q \pm \sqrt{(27q)^2 - 4 \cdot ( -27p^3 )}}{ 2 } \\
&=& - \frac { 27q }{ 2 } \pm \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}
\end{eqnarray}
$$
$$
L^3 = - \frac { 27q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}, \qquad R^3 = - \frac { 27q }{ 2 } - \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}
$$
となります。『数学ガール／ガロア理論』での記述に倣い、表記の簡略化のためにL^3 = - \frac { 27q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}, \qquad R^3 = - \frac { 27q }{ 2 } - \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3}
$$
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = - \frac { 27q }{ 2 } \\
D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
とすると、\( L^3, R^3 \) は、\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = - \frac { 27q }{ 2 } \\
D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right )^2 + 27p^3 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
$$
L^3 = A + \sqrt{ D }, \qquad R^3 = A - \sqrt{ D } \\
\tag{5}
$$
となります。L^3 = A + \sqrt{ D }, \qquad R^3 = A - \sqrt{ D } \\
\tag{5}
$$
\( L^3, R^3 \) が求まったので、\( L, R \) が求まります。
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\
R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{6}
$$
です。\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \\
R = \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{6}
$$
（3次方程式の解の公式の導出(6)へ続く）
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