５つのビリヤード玉の問題（３）

さらに続きです。

一応、前回までのリンクを貼っておきます。

５つのビリヤード玉の問題
５つのビリヤード玉の問題（２）

　

さて、今回は（b）「1」と「2」が隣り合っていない場合を考えていきます。

　

（b）「1」と「2」が隣り合っていない場合（すなわち、C=2 or D=2 の場合）

「1」と「2」が隣り合っていないことより、「3」が必要となります。

従って、5個の自然数の組み合わせは、

｛1、2、3、4、11｝｛1、2、3、5、10｝｛1、2、3、6、9｝｛1、2、3、7、8｝

の4通りです。

ここでの並べ方ですが、「1」と「2」が隣り合っていないことから、とりあえず A=1、C=2 と置きます。

そして、「3」の位置で場合分けして考えます。

つまり、

（b1）B=3 の場合

（b2）D=3 の場合

（b3）E=3 の場合

です。

（b1） B=3 の場合

この場合、A=1、B=3、C=2 と並ぶため、「1」と「3」を足し合わせた「4」、「3」と「2」を足し合わせた「5」は不要となります。

また、「1」「3」「2」を足し合わせた「6」も不要です。

従って、残る組み合わせ｛1、2、3、7、8｝について考えます。

この組み合わせの並べ方は、

1・3・2・7・8

1・3・2・8・7

の2通りです。

足し合わせて9となる組み合わせが存在するのは、

1・3・2・7・8

の方だけですが、ここには 2+7=9、8+1=9 とダブってしまいます。

従って、ボツ。

（b2）D=3 の場合

この場合、1・B・2・3・E と並ぶため、「5」は不要となります。

また、「4」を入れると「1」と隣り合ってしまうため、「4」が入るとボツ。

（2+3=5 の組み合わせがあるのに、1+4（あるいは4+1）=5 を作るとダブってしまう。）

しかし、「4」が入れられないとすると、「1」と「3」が隣り合っていないため、足し合わせて4を作ることができなくなります。

従って、D=3 もボツ。

（b3）E=3 の場合

この場合、1・B・2・D・3 と並ぶため、「4」は不要となります。

従って、残る組み合わせは

｛1、2、3、5、10｝｛1、2、3、6、9｝｛1、2、3、7、8｝

の３つです。

しかし、「1・B・2・D・3」の並び方で、複数個を取り出して足し合わせると5になる組み合わせは存在しません。

足し合わせて5となるためには、1+4 か 2+3 （あるいは逆の 4+1 か 3+2）です。

「4」は不要ですし、「2」と「3」は隣り合っていないため、複数個で足し合わせるのではなく、1個を取り出して5とするために「5」が必要となります。

従って、5個の自然数の組み合わせは｛1、2、3、5、10｝が残ります。

このときの並べ方ですが、

1・5・2・10・3

1・10・2・5・3

の2通りとなります。

そして、足し合わせて6となるような並びが存在するのは、

1・5・2・10・3

の1つです。

あとは7以降の検証で、これは最初の記事でやりましたので、ここでは割愛します。

　

一番最初の記事では、「①③⑩②⑤」と解答していますが、これは単に時計回りに並べたか、反時計回りに並べたかの違いです。

　

さて、この考え方で n 個のときの一般解が出せるのか・・・。

やはり、不安です・・・。