第2章第3節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の節末問題です。ここには問題のみ。

問題3-1
$K \subset E$ のとき、$E$ の要素 $\alpha$ が $\alpha^2 + k \alpha + l = 0 \ ( k,l \in K )$ を満たすための必要十分条件は、$( K ( \alpha ) / K ) = 1$ または　$( K ( \alpha ) / K ) = 2$ であることを示せ。

問題3-2
次の体は有理数体 $Q$ 上何次の体か。

(1)　$Q( \alpha )$ ただし $\alpha ^3 = 1, \ \alpha \neq 1$
(2)　$Q( \alpha )$ ただし $\alpha ^3 = 2$
(3)　$Q( \alpha )$ ただし $\alpha ^4 + \alpha ^2 + 1 = 0$

問題3-3
$\alpha$ が $f(x) = x^3 - x - 2 = 0$ の根のとき、$( Q( \alpha ) / Q ) = 3$ を示し、さらに次の値を $\alpha$ の2次以下の多項式で表わせ。

(1)　$\alpha ^5$
(2)　$\frac { 1 } { \alpha +1 }$

問題3-4
$E$ が $K$ の拡大体で $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとする。$( K ( \alpha ) / K ) = 2 , \ E \cap K ( \alpha ) = K$ とすると $E ( \alpha )$ は $E$ 上次数 $2$ であることを示せ。

問題3-5
体 $K$ の相異なる $n$ 個の要素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ と $n$ 個の要素 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ （こちらは等しい要素があってもよい）を与えたとき、$f ( a_i ) = b_i \ ( i = 1, 2, \cdots, n )$ となる $n-1$ 次の $K$ 内の多項式

$f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1}$

が存在することを証明せよ。

問題3-6
$\sigma$ が $K$ から $K'$ への同型写像で、$K , \ K'$ がともに有理数体 $Q$ の拡大体のとき有理数 $a$ に対して $\sigma ( a ) = a$ であることを示せ。

問題3-7
実数体 $R$ の自己同型写像を $\sigma$ とするとき、次を順に証明せよ。
(1)　$\alpha \gt 0$ ならば $\sigma ( a ) \gt 0$ 、$\alpha \gt \beta$ ならば $\sigma ( a ) \gt \sigma ( \beta )$
(2)　$\sigma$ は恒等写像である