第2章第3節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の節末問題です。ここには問題のみ。

問題3-1
\( K \subset E \) のとき、\( E \) の要素 \( \alpha \) が \( \alpha^2 + k \alpha + l = 0 \ ( k,l \in K ) \) を満たすための必要十分条件は、\( ( K ( \alpha ) / K ) = 1 \) または　\( ( K ( \alpha ) / K ) = 2 \) であることを示せ。

問題3-2
次の体は有理数体 \( Q \) 上何次の体か。

(1)　\( Q( \alpha ) \) ただし \( \alpha ^3 = 1, \ \alpha \neq 1 \)
(2)　\( Q( \alpha ) \) ただし \( \alpha ^3 = 2 \)
(3)　\( Q( \alpha ) \) ただし \( \alpha ^4 + \alpha ^2 + 1 = 0 \)

問題3-3
\( \alpha \) が \( f(x) = x^3 - x - 2 = 0 \) の根のとき、\( ( Q( \alpha ) / Q ) = 3 \) を示し、さらに次の値を \( \alpha \) の2次以下の多項式で表わせ。

(1)　\( \alpha ^5 \)
(2)　\( \frac { 1 } { \alpha +1 } \)

問題3-4
\( E \) が \( K \) の拡大体で \( \alpha \) が \( K \) 上代数的であるとする。\( ( K ( \alpha ) / K ) = 2 , \ E \cap K ( \alpha ) = K \) とすると \( E ( \alpha ) \) は \( E \) 上次数 \( 2 \) であることを示せ。

問題3-5
体 \( K \) の相異なる \( n \) 個の要素 \( a_1, a_2, \cdots, a_n \) と \( n \) 個の要素 \( b_1, b_2, \cdots, b_n \) （こちらは等しい要素があってもよい）を与えたとき、\( f ( a_i ) = b_i \ ( i = 1, 2, \cdots, n ) \) となる \( n-1 \) 次の \( K \) 内の多項式

\( f(x) = c_0 + c_1 x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1} \)

が存在することを証明せよ。

問題3-6
\( \sigma \) が \( K \) から \( K' \) への同型写像で、\( K , \ K' \) がともに有理数体 \( Q \) の拡大体のとき有理数 \( a \) に対して \( \sigma ( a ) = a \) であることを示せ。

問題3-7
実数体 \( R \) の自己同型写像を \( \sigma \) とするとき、次を順に証明せよ。
(1)　\( \alpha \gt 0 \) ならば \( \sigma ( a ) \gt 0 \) 、\( \alpha \gt \beta \) ならば \( \sigma ( a ) \gt \sigma ( \beta ) \)
(2)　\( \sigma \) は恒等写像である