ベクトル空間の問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』の第１章第２節の問題。

問題2-1　体K 上のベクトル空間V において
(1)　a0＝0、(－1)a＝－a を証明せよ。
(2)　aa＝0 ならば a＝0 または a＝0 であることを証明せよ。

ベクトル空間（左ベクトル空間）の定義は以下。

V を加群とし、その要素を a, b, … で表わす。また K を体とし、その要素を a, b, … で表わす。このとき K の任意の要素 a と V の任意の要素 a に対し V の要素 aa が定義されていて、次の条件が満たされているならば、V を K 上の左ベクトル空間という。

1. 　a(a＋b)＝aa＋ab
2. 　(a＋b)a＝aa＋ba
3. 　a(ba)＝(ab)a
4. 　1a＝a

前回、0a＝0 の証明があったので、それも見ておく。

aa＝(a＋0)a＝aa＋0a
∴0a＝0

まずは問題2-1の(1) a0＝0 について。僕の解答。

aa＝a(a＋0)＝aa＋a0
∴a0＝0

本での解答は以下。

a0＝a(0＋0)＝a0＋a0 から a0＝0

これはOKだろう。

続いて、(－1)a＝－a について。少し工夫が必要そうだ。文字式に慣れていると当たり前のことのように思うが、ここでわかっていることは、空間ベクトルの定義（公理）だけである。それとこれまでに証明した 0a＝0、a0＝0 は使える。

(－1)a＝－a の左辺 (－1)a は、V の要素 aa として定義されているかたちだ。では、右辺の －a はどうだろう。難しく考えすぎだろうか。本の解答を見る。

a＋(－1)a＝{1＋(－1)}a＝0a＝0 から (－1)a＝－a

なるほど、a の属する V は加群、つまり、加算に関する可換群なので、a の逆元 －a が存在することを利用したのだろう。

次は問題2-1の(2)、aa＝0 ならば a＝0 または a＝0 であることの証明。a＝0 ならば 0a＝0、そして、a＝0 ならば a0＝0 はここまでに証明したことにある。今回はその逆の証明だ。さて、どうする。

思いつかず、解答を見る。

aa＝0 で a≠0 とすると、K の中に a^-1 が存在する。

a^-1(aa)＝(a^-1a)a＝1a＝a, 　a^-10＝0

から a＝0 となる。

なるほど、今度は K の中に、乗算に関して0以外の要素に逆元a^-1 が存在することを利用したのか。

普段（とはいってもほとんどない、が）は文字式の計算を何気なくしているが、当たり前にしていることを証明するのはなかなか難しい。