代数的要素

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節「代数的要素」に入ります。

僕にとって、もう少ししっかりと押さえておきたいところです。

まずは「代数的」とはどのようなことか、の説明から入ります。

$K$ を体とし、$E$ を $K$ の拡大体とする。$\alpha$ を $E$ の要素とするとき、$K$ 内に係数をもつ多項式で $\alpha$ を根にもつものが存在するかどうかを問題にする。もしそのような $0$ でない多項式が存在するならば、$\alpha$ は $K$ 上で代数的であるという。

有理数体でみてみましょう。たとえば $sqrt{2}$ は、有理数係数の多項式 $x^2-2$ の根となりますので、有理数体上で代数的です。$sqrt{2}$ は無理数ですので、有理数体の要素ではありませんが、その拡大体（たとえば実数体）の要素です。有理数体上で代数的な要素を代数的数といいます。上記引用では有理数体に限らず一般的な体となりますので、代数的数の説明ではありませんが、代数的数が理解できれば、代数的であるということの理解はそう難しくないと思います。

ちなみに代数的数でない数を超越数といいます。言い換えると、有理数係数の多項式の根とならない数です。たとえば円周率の $\pi$ は超越数です。

アルティンの『ガロア理論入門』は、代数的の説明のあと、その代数的要素をもつ多項式についての説明に移ります。

$\alpha$ が $K$ 上代数的のとき、$\alpha$ を根にもつ $K$ 内の $0$ でない多項式の中で最低次数のものを選び、次にそれに適当な $K$ の要素をかけて、その最高次の係数を $1$ にしたものをつくり、これを $f(x)$ で表わす。するとこの多項式 $f(x)$ について、次の3つの性質がなりたつ。

1. $g(x)$ を $g( \alpha ) = 0$ のような $K$ 内の多項式とすると $g(x)$ は $f(x)$ で割りきれる。
2. $f(x)$ は $K$ 上既約である。
3. $f(x)$ は上のつくり方のもとで一意的に定まる。

アルティンの本には載っていませんが、このような $f(x)$ を最小多項式といいます。

たとえば先ほどの $\sqrt{2}$ の有理数体上の最小多項式は $x^2-2$ です。 $x^2-2$ は、有理数係数の $0$ でない多項式で、 $\sqrt{2}$ を根にもつ多項式の中で最低次数であり、その最高次の係数は1となりますので条件にあてはまります。

$\sqrt{2}$ を根にもつ多項式はたくさんあります。$x^2-2$ はもちろん、他にたとえば $2(x^2 -2)$ や $( x - 1) ( x^2 -2 )$ なども $\sqrt{2}$ を根にもつ多項式です。$\sqrt{2}$ を根にもつ多項式の中で、最低次数（この例では2次）で、最高次の係数が1である多項式が最小多項式です。

1次の多項式で $\sqrt{2}$ を根にもつ多項式に、$x - \sqrt{2}$ がありますが、これは有理数係数の多項式ではありません。

この最小多項式の性質を3つ挙げています。そしてその証明もありますので、次回取り上げたいと思います。

代数的
$K$ を体、$E$ を $K$ の拡大体とする。$\alpha$ を $E$ の要素とする。
$K$ 内に係数をもつ多項式で、 $\alpha$ を根にもつ $0$ でない多項式が存在するとき、$\alpha$ は $K$ 上で代数的であるという。

最小多項式
$\alpha$ が $K$ 上代数的のとき、$\alpha$ を根にもつ $K$ 内の $0$ でない多項式の中で、最低次数の多項式で、その最高次の係数が $1$ である多項式を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式という。