第2章第2節の節末問題（問題2-5解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題、問題2-5と問題2-6です。

問題2-5　次の各多項式は有理数体 $Q$ 上既約であることを示せ。

(1) $f(x) = x^5 -x -1$
(2) $x^4 +8$

問題2-6　$f(x) = x^5 - ax -1$ が有理数体上可約となるように整数 $a$ を定めよ。

問題2-5について、『ガロア理論入門』の解答は、(1) が有理数体 $Q$ 上既約であることの証明を掲載し、「(2)も同様である」としていましたので、このブログでは(2)が有理数体 $Q$ 上既約であることを示したいと思います。問題2-6の解答は、このブログでは省略します。

有理数体 $Q$ 上既約であるというのは、言葉を変えると、有理数体 $Q$ 上で因数分解できないということです。有理数体 $Q$ 上可約であるとは、有理数体 $Q$ 上で因数分解できるということです。

できないことを証明するには、背理法がよく使われます。解答も背理法を使って証明しています。

以下に記載している証明は、本に載っている証明の式や数を変えただけではなく、自分なりのやり方で自分の言葉におきなおして書いているので、冗長なところや言葉足らずなところがあるかもしれません。

問題
$x^4 +8$ は有理数体 $Q$ 上既約であることを示せ。

解答
背理法を使う。$f(x) = x^4 +8$ として、$f(x)$ は有理数体上可約であると仮定する。

$f(x)$ が可約であるとすると、問題2-4から、整数を係数にもつ多項式に分解できる。
（問題2-4はこちらを参考）
$f(x)$ は4次の多項式であるので、分解できるとすると、$f(x)$ が1次因数をもつ（1次の多項式と3次の多項式に分解）か、2次因数をもつ（2つの2次の多項式）かの分解となる。

(i) $f(x)$ が1次因数をもつ場合

$f(x) = ( x - a ) ( x^3 + \cdots + b )$ とする（ $a, b$ はともに整数）。展開して係数を比較すると、$-ab = 8$ が得られる。これを満たす整数 $a$ は、$a = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ である。一方、$a$ は、$f(x)$ の根であるので $f(a) = 0$ となるはずだが、$a = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ はどれも $f(a) = 0$ を満たさない（有理数範囲では $x$ がどのような値でも $x^4 +8 \gt 0$ である）ので矛盾する。

(ii) $f(x)$ が2次因数をもつ場合

$f(x) = ( x^2 + ax + b ) ( x^2 + cx + d )$ とする（ $a,b, c, d$ はともに整数）。
$$\begin{eqnarray} f(x) &=& ( x^2 + ax + b ) ( x^2 + cx + d ) \\ &=& x^4 + ( a + c ) x^3 + ( b + d + ac ) x^2 + ( ad + bc ) x + bd \end{eqnarray}$$
より、係数を比較して、
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a + c = 0 & \cdots \cdots ① \\ b + d + ac = 0 & \cdots \cdots ② \\ ad + bc = 0 & \cdots \cdots ③\\ bd = 8 & \cdots \cdots ④\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
①より、$c = -a$
③に代入して、
$$\begin{eqnarray} ad + b(-a) &=& 0 \\ a(d-b) &=& 0 \end{eqnarray}$$
よって、$a = 0$ または $b = d$。

$a = 0$ のとき、$c = 0$。②に代入して、$b + d = 0$ つまり $b = -d$。④に代入して、$b^2 = -8$ を得るが、2乗して-8となる整数は存在しない。

$b = d$ のときも、④に代入すると $b^2 = 8$ を得るが、2乗して8となる整数は存在しない。

ゆえに、(i) $f(x)$ が1次因数をもつ場合も、(ii) $f(x)$ が2次因数をもつ場合も矛盾が生じるので、$x^4 +8$ は有理数体 $Q$ 上既約である。