第2章第2節の節末問題（問題2-5解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題、問題2-5と問題2-6です。

問題2-5　次の各多項式は有理数体 \( Q \) 上既約であることを示せ。

(1) \( f(x) = x^5 -x -1 \)
(2) \( x^4 +8 \)

問題2-6　\( f(x) = x^5 - ax -1 \) が有理数体上可約となるように整数 \( a \) を定めよ。

問題2-5について、『ガロア理論入門』の解答は、(1) が有理数体 \( Q \) 上既約であることの証明を掲載し、「(2)も同様である」としていましたので、このブログでは(2)が有理数体 \( Q \) 上既約であることを示したいと思います。問題2-6の解答は、このブログでは省略します。

有理数体 \( Q \) 上既約であるというのは、言葉を変えると、有理数体 \( Q \) 上で因数分解できないということです。有理数体 \( Q \) 上可約であるとは、有理数体 \( Q \) 上で因数分解できるということです。

できないことを証明するには、背理法がよく使われます。解答も背理法を使って証明しています。

以下に記載している証明は、本に載っている証明の式や数を変えただけではなく、自分なりのやり方で自分の言葉におきなおして書いているので、冗長なところや言葉足らずなところがあるかもしれません。

問題
\( x^4 +8 \) は有理数体 \( Q \) 上既約であることを示せ。

解答
背理法を使う。\( f(x) = x^4 +8 \) として、\( f(x) \) は有理数体上可約であると仮定する。

\( f(x) \) が可約であるとすると、問題2-4から、整数を係数にもつ多項式に分解できる。
（問題2-4はこちらを参考）
\( f(x) \) は4次の多項式であるので、分解できるとすると、\( f(x) \) が1次因数をもつ（1次の多項式と3次の多項式に分解）か、2次因数をもつ（2つの2次の多項式）かの分解となる。

(i) \( f(x) \) が1次因数をもつ場合

\( f(x) = ( x - a ) ( x^3 + \cdots + b ) \) とする（ \( a, b \) はともに整数）。展開して係数を比較すると、\( -ab = 8 \) が得られる。これを満たす整数 \( a \) は、\( a = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \) である。一方、\( a \) は、\( f(x) \) の根であるので \( f(a) = 0 \) となるはずだが、\( a = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \) はどれも \( f(a) = 0 \) を満たさない（有理数範囲では \( x \) がどのような値でも \( x^4 +8 \gt 0 \) である）ので矛盾する。

(ii) \( f(x) \) が2次因数をもつ場合

\( f(x) = ( x^2 + ax + b ) ( x^2 + cx + d ) \) とする（ \( a,b, c, d \) はともに整数）。
$$
\begin{eqnarray}
f(x) &=& ( x^2 + ax + b ) ( x^2 + cx + d ) \\
&=& x^4 + ( a + c ) x^3 + ( b + d + ac ) x^2 + ( ad + bc ) x + bd
\end{eqnarray}
$$
より、係数を比較して、
$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a + c = 0 & \cdots \cdots ① \\
b + d + ac = 0 & \cdots \cdots ② \\
ad + bc = 0 & \cdots \cdots ③\\
bd = 8 & \cdots \cdots ④\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
①より、\( c = -a \)
③に代入して、
$$
\begin{eqnarray}
ad + b(-a) &=& 0 \\
a(d-b) &=& 0
\end{eqnarray}
$$
よって、\( a = 0 \) または \( b = d \)。

\( a = 0 \) のとき、\( c = 0 \)。②に代入して、\( b + d = 0 \) つまり \( b = -d \)。④に代入して、\( b^2 = -8 \) を得るが、2乗して-8となる整数は存在しない。

\( b = d \) のときも、④に代入すると \( b^2 = 8 \) を得るが、2乗して8となる整数は存在しない。

ゆえに、(i) \( f(x) \) が1次因数をもつ場合も、(ii) \( f(x) \) が2次因数をもつ場合も矛盾が生じるので、\( x^4 +8 \) は有理数体 \( Q \) 上既約である。