3次方程式の解の公式の導出(1)

2次方程式の解の公式の導出を書いている途中、ブログ内で数式を表示できるようにMathJaxを使用できるようにしてみた。

しかし、スマホ（モバイル）では表示されない。PC上では表示されている。

おそらく、使用しているブログサービス（Blogger）では、PCサイトとモバイルサイトでテーマを別々にしており、今回Mathjax用に埋め込んだスクリプトがPC上でしか動作していないからだと思われる。モバイル用テーマでのカスタマイズが可能であるかどうかはこれから調べるので、しばらくはPCでのブラウザ表示でしか数式は表示されないと思う。

さて、せっかく数式表示をできるようにしたし、前回、2次方程式の解の公式の導出をあげたので、Mathjaxの練習も兼ねて、3次方程式の解の公式の導出をあげてみたいと思う。

3次方程式は一般的に次のように書き表わすことができる。

$$ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \qquad (a \neq 0) \tag{1}$$

$a \neq 0$ であるのは、$a = 0$ であれば2次方程式となってしまうからである。未知数を $x$ ではなく $y$ としているのは、単にこれから変数変換でこの3次方程式を少し簡単な形にしようとしているからである。

早速、変数変換をしていこう。$y = x - \frac{ b }{ 3a }$ として上記の3次方程式 $(1)$ に代入する。

$$\begin{align} (左辺) &= a (x - \frac{ b }{ 3a } )^3 + b(x - \frac{ b }{ 3a } )^2 + c(x - \frac{ b }{ 3a } ) + d \\\\ &= a (x^3 - 3 \cdot \frac{ b }{ 3a } x^2 + 3 \cdot \frac{ b^2 }{ 9a^2 } x - \frac{ b^3 }{ 27a^3 }) \\\\ & \qquad + b (x^2 - 2 \cdot \frac{ b }{ 3a } x + \frac{ b^2 }{ 9a^2 }) + c (x - \frac{ b }{ 3a } ) + d \\\\ &= ax^3 - bx^2 + \frac{ b^2 }{ 3a } x - \frac{ b^3 }{ 27a^2 } + bx^2 - \frac{ 2b^2 }{ 3a } x + \frac{ b^3 }{ 9a^2 } + cx - \frac{ bc }{ 3a } + d \\\\ &= ax^3 + \frac{ b^2 }{ 3a } x - \frac{ 2b^2 }{ 3a } x + cx - \frac{ b^3 }{ 27a^2 } + \frac{ b^3 }{ 9a^2 } - \frac{ bc }{ 3a } + d \\\\ &= ax^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^2 } \end{align}$$

つまり、3次方程式 $(1)$ は、

$$ax^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^2 } = 0 \tag{2}$$

となる。$a \neq 0$ なので、3次方程式 $(2)$ の両辺を $a$ で割って、

$$x^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } = 0 \tag{2'}$$

ここで、

$$p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , \qquad q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }$$

とすると、3次方程式 $(2')$ は、次のように書ける。

$$x^3 + px + q = 0 \tag{3}$$

この3次方程式 $(3)$ の解の公式をつくることができれば、$y = x - \frac{ b }{ 3a }$ と、$p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }$ より、3次方程式 $(1)$ の解の公式をつくることができる。

以降、この $(3)$ の解の公式を求めていく。


なお、このように3次方程式（あるいは多項式）の2次の項を消すやり方について、チルンハウス変換とか、立法完成とか、フェラーリの方法とか、いくつかの名前で呼ばれている。おそらくはそれぞれに定義みたいなものがあるのだろうが、確認していない。チルンハウスやフェラーリというのは数学者の名前である。立法完成は名前から3次式でしかいわれないだろう。2次式のときには「平方完成」というのがあった。


【参考】
Mathjaxでの数式表示について、以下のサイトにお世話になった。

Easy Copy Mathjax
物理とか「mathjaxの使い方」