（これまで）
５つのビリヤード玉の問題（１）（２）（３）（４）（５）（６）５つのビリヤード玉の問題（試行錯誤編）
循環数列のことはさておき、数列的に考えてみることを試みてみます。
アプローチの方法として、答えから考えてみるのも有りだと思いますので、５つのビリヤード玉の問題の答えから解き方の方向性を考えてみます。
考えるだけで、答えは出ない可能性があります(^-^;)
５つのビリヤード玉の問題での答えは、①③⑩②⑤でした。
そこで、まずこの答を数列Aとして、第1項が1、第2項が3、というように数列として考えます。
つまり、ここでは、A1=1、A2=3、A3=10、A4=2、A5=5、です。
次に、隣り合う2個のビリヤード玉を取ってその数字を足し合わせたことを考えて、数列Bを作ります。
つまり、B1=A1+A2、B2=A2+A3、B3=A3+A4、…という数列です。
さらに、今度は隣り合う3個のビリヤード玉を取って足し合わせたことを考え、数列Cを作ります。
C1=A1+A2+A3、C2=A2+A3+A4、C3=A3+A4+A5、…という数列です。
同じように4個の玉のため、数列Dをつくります。
すると、今、以下のような数列を作りました。
数列A： A1 A2 A3 A4 A5
数列B： B1 B2 B3 B4 B5
数列C： C1 C2 C3 C4 C5
数列D： D1 D2 D3 D4 D5
問題内の条件から、このA１～D5は、1から20の自然数のどれかに1対1に対応していることになります。
ちなみに、５つのビリヤード玉の解答を当てはめると、以下のようになります。
数列A： ① ③ ⑩ ② ⑤
数列B： ④ ⑬ ⑫ ⑦ ⑥
数列C： ⑭ ⑮ ⑰ ⑧ ⑨
数列D： ⑯ ⑳ ⑱ ⑪ ⑲
（ブログ内での表作成の方法を知りませんので、そろえるために〇囲み数字で書いています。）
さて、問題の条件から、A1+A2+A3+A4+A5=21なので、当然といえば当然のことですが、A1+D2=21となります。
同様に、A2+D3=21、A3+D4=21…です。
今、A1=1とします。
すると、D2=20となります。
また、A1+A2+A3+A4+A5=21なので、D1+D2+D3+D4+D5=21×4=84です。
A1=1、D2=20から、
1+A2+A3+A4+A5=21 ⇒ A2+A3+A4+A5=20
D1+20+D3+D4+D5=84 ⇒ D1+D3+D4+D5=64
となります。
そして、数列Aには②がどこかに含まれるので、数列Dにはどこかに⑲が含まれることになります。
ここまでの条件を列挙すると、
- A2+A3+A4+A5=20
- D1+D3+D4+D5=64
- A2+D3=21
- A3+D4=21
- A4+D5=21
- A5+D1=21
- A2、A3、A4、A5のうち、どれかは2
- D1、D3、D4、D5のうち、どれかは19
- D1=A1+A2+A3+A4 =1+A2+A3+A4
- D3=A3+A4+A5+A1 =A3+A4+A5+1
- D4=A4+A5+A1+A2 =A4+A5+1+A2
- D5=A5+A1+A2+A3 =A5+1+A2+A3
- A2、A3、A4、A5、D1、D3、D4、D5は2～19までの自然数のどれか
- A2、A3、A4、A5、D1、D3、D4、D5は全て異なる自然数
- D1、D3、D4、D5は10～19までの自然数
う～ん、考えやすくなったような、なっていないような…。
やっぱり組み合わせになってきますね。
もともとの解き方と同じになりそうですが、とりあえず進めます。
まずは、単純なところから、2～19までの自然数で、足して21になるような2つの自然数の組み合わせを考えましょう。
｛2、19｝（この組み合わせは必ず入る）
｛3、18｝｛4、17｝｛5、16｝｛6、15｝
｛7、14｝｛8、13｝｛9、12｝｛10、11｝
今度は、A2+A3+A4+A5=20から、数列Aについて2を含めた4個の自然数の組み合わせを考えて、その場合の数列Dの組み合わせをあげてみると、
（左側の方が数列Aの集合、右側は数列Dの集合）
｛2、3、4、11｝ ｛19、18、17、10｝
｛2、3、5、10｝ ｛19、18、16、11｝
｛2、3、6、9｝ ｛19、18、15、12｝
｛2、3、7、8｝ ｛19、18、14、13｝
｛2、4、5、9｝ ｛19、17、16、12｝
｛2、4、6、8｝ ｛19、17、15、13｝
｛2、5、6、7｝ ｛19、16、15、14｝
やはり、場合分けになってしまいますね(^-^;)
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