2010/12/15

5つのビリヤード玉の問題(試行錯誤編2)

(これまで)

5つのビリヤード玉の問題(1)(2)(3)(4)(5)(6)

5つのビリヤード玉の問題(試行錯誤編)

 

循環数列のことはさておき、数列的に考えてみることを試みてみます。

アプローチの方法として、答えから考えてみるのも有りだと思いますので、5つのビリヤード玉の問題の答えから解き方の方向性を考えてみます。

考えるだけで、答えは出ない可能性があります(^-^;)

 

5つのビリヤード玉の問題での答えは、①③⑩②⑤でした。

そこで、まずこの答を数列Aとして、第1項が1、第2項が3、というように数列として考えます。

つまり、ここでは、A1=1、A2=3、A3=10、A4=2、A5=5、です。

 

次に、隣り合う2個のビリヤード玉を取ってその数字を足し合わせたことを考えて、数列Bを作ります。

つまり、B1=A1+A2、B2=A2+A3、B3=A3+A4、…という数列です。

さらに、今度は隣り合う3個のビリヤード玉を取って足し合わせたことを考え、数列Cを作ります。

C1=A1+A2+A3、C2=A2+A3+A4、C3=A3+A4+A5、…という数列です。

同じように4個の玉のため、数列Dをつくります。

 

すると、今、以下のような数列を作りました。

数列A: A1 A2 A3 A4 A5

数列B: B1 B2 B3 B4 B5

数列C: C1 C2 C3 C4 C5

数列D: D1 D2 D3 D4 D5

 

問題内の条件から、このA~D5は、1から20の自然数のどれかに1対1に対応していることになります。

 

ちなみに、5つのビリヤード玉の解答を当てはめると、以下のようになります。

数列A: ① ③ ⑩ ② ⑤

数列B: ④ ⑬ ⑫ ⑦ ⑥

数列C: ⑭ ⑮ ⑰ ⑧ ⑨

数列D: ⑯ ⑳ ⑱ ⑪ ⑲

(ブログ内での表作成の方法を知りませんので、そろえるために〇囲み数字で書いています。)

 

さて、問題の条件から、A1+A2+A3+A4+A5=21なので、当然といえば当然のことですが、A1+D2=21となります。

同様に、A2+D3=21、A3+D4=21…です。

 

今、A1=1とします。

すると、D2=20となります。

 

また、A1+A2+A3+A4+A5=21なので、D1+D2+D3+D4+D5=21×4=84です。

A1=1、D2=20から、

1+A2+A3+A4+A5=21 ⇒ A2+A3+A4+A5=20

D1+20+D3+D4+D5=84 ⇒ D1+D3+D4+D5=64

となります。

そして、数列Aには②がどこかに含まれるので、数列Dにはどこかに⑲が含まれることになります。

 

ここまでの条件を列挙すると、

  • A2+A3+A4+A5=20
  • D1+D3+D4+D5=64
  • A2+D3=21
  • A3+D4=21
  • A4+D5=21
  • A5+D1=21
  • A2、A3、A4、A5のうち、どれかは2
  • D1、D3、D4、D5のうち、どれかは19
  • D1=A1+A2+A3+A4 =1+A2+A3+A4
  • D3=A3+A4+A5+A1 =A3+A4+A5+1
  • D4=A4+A5+A1+A2 =A4+A5+1+A2
  • D5=A5+A1+A2+A3 =A5+1+A2+A3
  • A2、A3、A4、A5、D1、D3、D4、D5は2~19までの自然数のどれか
  • A2、A3、A4、A5、D1、D3、D4、D5は全て異なる自然数
  • D1、D3、D4、D5は10~19までの自然数

 

う~ん、考えやすくなったような、なっていないような…。

やっぱり組み合わせになってきますね。

もともとの解き方と同じになりそうですが、とりあえず進めます。

 

まずは、単純なところから、2~19までの自然数で、足して21になるような2つの自然数の組み合わせを考えましょう。

{2、19}(この組み合わせは必ず入る)

{3、18}{4、17}{5、16}{6、15}

{7、14}{8、13}{9、12}{10、11}

 

今度は、A2+A3+A4+A5=20から、数列Aについて2を含めた4個の自然数の組み合わせを考えて、その場合の数列Dの組み合わせをあげてみると、

(左側の方が数列Aの集合、右側は数列Dの集合)

{2、3、4、11} {19、18、17、10}

{2、3、5、10} {19、18、16、11}

{2、3、6、9} {19、18、15、12}

{2、3、7、8} {19、18、14、13}

{2、4、5、9} {19、17、16、12}

{2、4、6、8} {19、17、15、13}

{2、5、6、7} {19、16、15、14}

 

やはり、場合分けになってしまいますね(^-^;)

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