同型写像

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節続き。

体 \( K \) 内の既約多項式 \ ( f(x) \) の根 \( \alpha \) を使って集合 \( E_0 \) をつくり、その集合 \( E_0 \) が体であることを示そうとしています。そこで、集合 \( E_0 \) を模写した、記号 \( xi \) を用いて集合 \( E_1 \) をつくりました。\( E_1 \) が体であることを示すことで、\( E_0 \) が体であることを示そうということです。前回は \( E_1 \) が体であることを示しました。

そして、\( E_1 \) から \( E_0 \) への写像を考えると、同型写像であり、\( E_0 \) が体であることがわかります。

以下は、1つの体 \( K \) から他の体 \( K' \) の中への写像 \( \sigma \) の性質について述べている箇所です。

　一般に1つの体 \( K \) から他の体 \( K' \) の中への写像 \( \sigma \) で次の性質をもつものを考える。すなわち \( K \) の任意の要素 \( \alpha \) に対して、 \( \alpha \) に対応する \( K' \) の要素を \( \sigma( \alpha ) \) で示すとき、\( K \) の任意の要素 \( \alpha , \beta \) に対して次の性質をもつ写像である。

1.　\( \sigma( \alpha + \beta ) = \sigma( \alpha ) + \sigma( \beta ) \)
2.　\( \sigma( \alpha \beta ) = \sigma( \alpha ) \sigma( \beta ) \)

ここで　\( \sigma( \alpha ) = 0 \) のような要素 \( \alpha \neq 0 \) が存在すれば、性質2によって任意の \( \beta \) に対して、
$$
\begin{eqnarray}
\sigma( \beta ) &=& \sigma( \alpha \alpha ^{-1} \beta ) = \sigma( \alpha ) \sigma( \alpha ^{-1} \beta ) \\
&=& 0 \sigma( \alpha ^{-1} \beta ) = 0
\end{eqnarray}
$$
となり、\( K \) 全体が0に写像されてしまう。しかしこの写像は意味のないものであるから、ここでは次のことを仮定する。

3　\( \alpha \neq 0 \) ならば \( \sigma ( \alpha ) \neq 0 \)

この3つの性質から、さらに
$$
\sigma( \alpha - \beta ) = \sigma( \alpha ) - \sigma( \beta ) \\
\sigma( \frac { \alpha } { \beta } ) = \frac { \sigma( \alpha ) } { \sigma( \beta ) } \\
\alpha = \beta ならば \sigma( \alpha ) = \sigma( \beta )
$$
が得られ、\( \sigma \) は \( K \) から \( K' \) の中への一対一の写像であることがわかります。このような写像を \( K \) から \( K' \) の中への同型写像といいます。このとき、 \( K \) の像は \( K' \) の部分体です。

さらに、写像 \( \sigma \) が体 \( K \) を体 \( K' \) 全体へ写像するときは、 \( K \) から \( K' \) の上への同型写像といいます。このときは逆に \( K' \) から \( K \) の上へもどる逆写像 \( \sigma ^{-1} \) を考えることができ、これも \( K' \) から \( K \) の上への同型写像となります。そして、\( K \) から \( K' \) の上への同型写像が存在するとき、\( K \) と \( K' \) は同型であるともいいます。

この定義は \( K' \) が \( K \) に一致していてもさしつかえなく、\( \sigma \) が \( K \) からそれ自身への上への同型写像のとき、\( \sigma \) は \( K \) の自己同型写像といいます。この場合には \( \sigma ^{-1} \) も \( K \) の自己同型写像です。また、\( K \) の恒等写像は \( K \) の1つの自己同型写像です。