ビリヤードの問題再考（７）

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中でのビリヤード玉の問題についてあらためて考えています。

五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。玉には、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？

5つのビリヤード玉 \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \) が、右回りでこの順につながっているとして、\( a_1 = 1 \) としたとき、21通りの取り出し方にどこまで大小関係がつけられるのかを考えています。

使っている記号の意味については前回を確認してください。

\( B_1 \) を見ると、\( B_1 = 1 + A2 \) ですので、\( A_2 \lt B_1 \) となり、さらに \( A_2 \) と \( B_1 \) の差が1ですので、間に何も入らないという意味で \( [ A_2 B_1 ] \) と書こうというのが前回までのところです。ひとつひとつ確認しながら順に大小関係を確認していこうと思います。\( B_1 \) について、当然 \( 1 \lt B_1 \) がいえますが、\( 1 \lt B_1 \) や \( B_1 \lt 13 \) などはここでは省いていきます。

さて、\( B_2 \) を見ると、\( B_2 = A2 + A3 \) ですので、明らかに \( A_2 \lt B_2 \) 、\( A_3 \lt B_2 \) です。ところで \( [ A_2 B_1 ] \) ですので、 \( A_2 \lt B_2 \) から、\( [ A_2 B_1 ] \lt B_2 \) がいえます。

\( B_3 \) を見ると \( A_3 \lt B_3 \) 、\( A_4 \lt B_3 \) です。

また \( B_4 \) からは \( A_4 \lt B_4 \) 、\( A_5 \lt B_4 \) がいえます。\( B_5 \) を見ると、\( B_1 \) のときと同様に、\( [ A_5 B_5 ] \) がいえます。
\( A_5 \lt B_4 \) と \( [A_5 B_5] \) より、\( [A_5 B_5] \lt B_4 \) です。これまでをまとめると以下です。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & B_2 \\
A_3 & \lt & B_2 \\
A_3 & \lt & B_3 \\
A_4 & \lt & B_3 \\
A_4 & \lt & B_4 \\
[A_5 B_5] & \lt & B_4
\end{eqnarray}
$$
続いて \( C_1 \) から \( C_5 \) を見ます。

\( C_1 \) より、\( B_1 \lt C_1 \) と \( [ B_2 C_1 ] \) がいえます。つまり、\( B_1 \lt [ B_2 C_1 ] \) です。上のまとめた不等式に追加していきます。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & B_3 \\
A_4 & \lt & B_3 \\
A_4 & \lt & B_4 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & B_4
\end{eqnarray}
$$
\( C_2 \) は、\( B_2 \lt C_2 \) と \( B_3 \lt C_2 \) です。同様にまとめた不等式をまとめていきます。見やすくなるように表示を工夫してはいきたいですが、ごちゃごちゃするかもしれません。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & C_2 \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & C_2 \\
A_4 & \lt & B_3 \\
A_4 & \lt & B_4 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & B_4
\end{eqnarray}
$$
このようにして、ひとつずつ確認をしていきます。以下、読むには退屈になりますので飛ばしていただいても大丈夫です。

\( C_3 \) は、\( B_3 \lt C_3 \) と \( B_4 \lt C_3 \) です。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & C_2 \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & C_2 \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & C_3 \\
A_4 & \lt & B_4 & \lt & C_3 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & B_4
\end{eqnarray}
$$
\( C_4 \) は、\( [ B_4 C_4 ] \) と \( B_5 \lt C_4 \) です。\( B_5 \lt [ B_4 C_4 ] \) がいえ、\( [A_5 B_5] \lt B_4 \) と合わせることができます。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & C_2 \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & C_2 \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & C_3 \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & C_3 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ]
\end{eqnarray}
$$
\( C_5 \) は、\( B_5 \lt C_5 \) と \( B_1 \lt C_5 \) です。だんだん書きづらくなってきました。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & C_5 \\
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & C_2 \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & C_2 \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & C_3 \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & C_3 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & C_5
\end{eqnarray}
$$

\( D_1 \) から \( D_5 \) をみます。

\( D_1 \) は、\( C_1 \lt D_1 \) と \( [ C_2 D_1 ] \) 。つまり \( C_1 \lt [ C_2 D_1 ] \) 。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & C_5 \\
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & C_3 \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & C_3 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & C_5
\end{eqnarray}
$$
\( D_2 \) は、\( D_2 = 20 \) ですので飛ばします。

\( D_3 \) は、\( [ C_3 D_3 ] \) と \( C_4 \lt D_3 \) 。つまり \( C_4 \lt [ C_3 D_3 ] \)
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & C_5 \\
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & C_5
\end{eqnarray}
$$
\( D_4 \) は、\( C_4 \lt D_4 \) と \( C_5 \lt D_4 \) 。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & C_5 \\
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & D_4 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & C_5 & \lt & D_4
\end{eqnarray}
$$
\( D_5 \) は、\( C_5 \lt D_5 \) と \( C_1 \lt D_5 \) 。
$$
\begin{eqnarray}
[ A_2 B_1 ] & \lt & C_5 & \lt & D_5 \\
[ A_2 B_1 ] & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & D_5 \\
A_3 & \lt & [ B_2 C_1 ] & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_3 & \lt & B_3 & \lt & [ C_2 D_1 ] \\
A_4 & \lt & B_3 & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
A_4 & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & [ C_3 D_3 ] \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & [ B_4 C_4 ] & \lt & D_4 \\
[ A_5 B_5 ] & \lt & C_5 & \lt & D_4
\end{eqnarray}
$$
\( E \) は \( E = 21 \) なので省略。

ひと通りみましたが、どっか抜けてそうな気がします……。

また、チェックもしたいし、他にも考慮したいところがありますし、こんなことをやって意味があるのかも見直したいので、また次回……。