3次方程式の解の公式の導出(4)

3次方程式の解の公式の導出(1)
3次方程式の解の公式の導出(2)
3次方程式の解の公式の導出(3)

前回の後半は \( \omega \) の説明となり、解の公式の導出からは少し話が逸れてしまいましたが、話を戻していきます。

3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解を、\( \alpha , \beta , \gamma \)として、解と係数の関係、そして、ラグランジュによる分解式、ラグランジュ・リゾルベントを見てきました。ラグランジュ・リゾルベントは解の公式を導くにあたり、補助となる式です。

3次方程式の解と係数の関係

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma = 0 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\
\alpha \beta \gamma = -q
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$

ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\
R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{2}
$$

まずは、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解 \( \alpha , \beta , \gamma \) を、 \( L, R \) を使って表していきます。

解と係数の関係の1つめの式と、 \( L, R \) の式から、

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
0 &= \alpha + \beta + \gamma \\
L &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\
R &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

この3つの式の辺々を足して、

$$
\begin{eqnarray}
0 + L + R &=& ( 1 + \omega + \omega ^2 ) \alpha + ( 1 + \omega ^2 + \omega ) \beta + ( 1+1+1 ) \gamma \\
L + R &=& 3 \gamma \\
\therefore \gamma &=& \frac {1}{3} ( L+R )
\end{eqnarray}
$$

\( \omega ^2 + \omega + 1 = 0 \) を使っています。続いて、\( L \) の式に \( \omega \) を掛けた式、\( R \) の式に \( \omega ^2 \) を掛けた式で辺々加えて、

$$
\begin{eqnarray}
0 + \omega L + \omega ^2 R &=& ( 1 + \omega ^2 + \omega ^4 ) \alpha + ( 1 + \omega ^3 + \omega ^3 ) \beta + ( 1 + \omega + \omega ^2 ) \gamma \\
\omega L + \omega ^2 R &=& 3 \beta \\
\therefore \beta &=& \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R )
\end{eqnarray}
$$

ここでは、 \( \omega ^3 = 1 \) も使っています。さらに、\( L \) の式に \( \omega ^2 \) を掛け、\( R \) の式に \( \omega \) を掛けて辺々加えると、

$$
\begin{eqnarray}
0 + \omega ^2 L + \omega R &=& ( 1 + \omega ^3 + \omega ^3 ) \alpha + ( 1 + \omega ^4 + \omega ^2 ) \beta + ( 1 + \omega ^2 + \omega ) \gamma \\
\omega ^2 L + \omega R &=& 3 \alpha \\
\therefore \alpha &=& \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R )
\end{eqnarray}
$$

\( \alpha , \beta , \gamma \) を、 \( L, R \) を使って表すことができました。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha &=& \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\
\beta &=& \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\
\gamma &=& \frac {1}{3} ( L+R )
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{3}
$$

3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) 解 \( \alpha , \beta , \gamma \) を \( L, R \) で表すことができたので、ここで \( L, R \) を3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の係数（ \( p , q \) ）を使って表すことができれば、解を係数で表すことができます。解を係数で表したものが解の公式となります。

そこで、 \( L, R \) を3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の係数（ \( p , q \) ）を使って表していきたいのですが、その準備として、まずは \( L^3 + R^3, L^3 R^3 \) を求めていきます。

（3次方程式の解の公式の導出(5)へ続く）