3次方程式の解の公式の導出(4)

3次方程式の解の公式の導出(1)
3次方程式の解の公式の導出(2)
3次方程式の解の公式の導出(3)

前回の後半は $\omega$ の説明となり、解の公式の導出からは少し話が逸れてしまいましたが、話を戻していきます。

3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解を、$\alpha , \beta , \gamma$として、解と係数の関係、そして、ラグランジュによる分解式、ラグランジュ・リゾルベントを見てきました。ラグランジュ・リゾルベントは解の公式を導くにあたり、補助となる式です。

3次方程式の解と係数の関係

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = p \\ \alpha \beta \gamma = -q \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1}$$

ラグランジュ・リゾルベント（3次の場合）

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} L = \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\ R = \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{2}$$

まずは、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解 $\alpha , \beta , \gamma$ を、 $L, R$ を使って表していきます。

解と係数の関係の1つめの式と、 $L, R$ の式から、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0 &= \alpha + \beta + \gamma \\ L &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma \\ R &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

この3つの式の辺々を足して、

$$\begin{eqnarray} 0 + L + R &=& ( 1 + \omega + \omega ^2 ) \alpha + ( 1 + \omega ^2 + \omega ) \beta + ( 1+1+1 ) \gamma \\ L + R &=& 3 \gamma \\ \therefore \gamma &=& \frac {1}{3} ( L+R ) \end{eqnarray}$$

$\omega ^2 + \omega + 1 = 0$ を使っています。続いて、$L$ の式に $\omega$ を掛けた式、$R$ の式に $\omega ^2$ を掛けた式で辺々加えて、

$$\begin{eqnarray} 0 + \omega L + \omega ^2 R &=& ( 1 + \omega ^2 + \omega ^4 ) \alpha + ( 1 + \omega ^3 + \omega ^3 ) \beta + ( 1 + \omega + \omega ^2 ) \gamma \\ \omega L + \omega ^2 R &=& 3 \beta \\ \therefore \beta &=& \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \end{eqnarray}$$

ここでは、 $\omega ^3 = 1$ も使っています。さらに、$L$ の式に $\omega ^2$ を掛け、$R$ の式に $\omega$ を掛けて辺々加えると、

$$\begin{eqnarray} 0 + \omega ^2 L + \omega R &=& ( 1 + \omega ^3 + \omega ^3 ) \alpha + ( 1 + \omega ^4 + \omega ^2 ) \beta + ( 1 + \omega ^2 + \omega ) \gamma \\ \omega ^2 L + \omega R &=& 3 \alpha \\ \therefore \alpha &=& \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \end{eqnarray}$$

$\alpha , \beta , \gamma$ を、 $L, R$ を使って表すことができました。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha &=& \frac {1}{3} ( \omega ^2 L + \omega R ) \\ \beta &=& \frac {1}{3} ( \omega L + \omega ^2 R ) \\ \gamma &=& \frac {1}{3} ( L+R ) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{3}$$

3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ 解 $\alpha , \beta , \gamma$ を $L, R$ で表すことができたので、ここで $L, R$ を3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の係数（ $p , q$ ）を使って表すことができれば、解を係数で表すことができます。解を係数で表したものが解の公式となります。

そこで、 $L, R$ を3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の係数（ $p , q$ ）を使って表していきたいのですが、その準備として、まずは $L^3 + R^3, L^3 R^3$ を求めていきます。

（3次方程式の解の公式の導出(5)へ続く）