第2章第2節の節末問題（問題2-2解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題。問題2-2の解答です。

問題2-2　第1章、問題1-3で扱った可換体 $Z_p$ において $p=7$ にとる。体 $Z_7$ において、次の各方程式を満足する要素を求めよ。

(1) $3x=4$
(2) $x^2 + x + 1 = 0$
(3) $x^2 -3 = 0$

第1章第1節の問題1-3は以下。

問題1-3　$p$ を素数とし、

$Z_p = \{ 0, 1, 2, \cdots, p-1 \}$

とする。$a \in Z_p, \ b \in Z_p$ のとき、$a \oplus b, \ a \circ b$ をそれぞれ $a + b, \ ab$ を $p$ で割ったときの余り、と定める。すると集合 $Z_p$ は演算 $\oplus, \ \circ$ のもとで可換体であることを示せ。

問題1-3については以前に書きましたので、必要でしたらそちらをご確認ください（「一次不定方程式の整数解（問題1-3より）」「引き続き、問題1-3より」）。

問題2-2の体 $Z_7$ は有限体 $\mathbb {F} _7$ です。要素を列挙すると以下となります。

$\mathbb {F} _7 = Z_7 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$

要素が7つしかありませんので、1つずつ確認していけば答えは出せますので問題2-2の解答は載せません。ただ本に掲載されていた解答は求め方の工夫がなされていました。

以前に演算表をつくりましたのでそれも載せておきます。