第2章第2節の節末問題（問題2-2解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題。問題2-2の解答です。

問題2-2　第1章、問題1-3で扱った可換体 \( Z_p \) において \( p=7 \) にとる。体 \( Z_7 \) において、次の各方程式を満足する要素を求めよ。

(1) \( 3x=4 \)
(2) \( x^2 + x + 1 = 0 \)
(3) \( x^2 -3 = 0 \)

第1章第1節の問題1-3は以下。

問題1-3　\( p \) を素数とし、

\( Z_p = \{ 0, 1, 2, \cdots, p-1 \} \)

とする。\( a \in Z_p, \ b \in Z_p \) のとき、\( a \oplus b, \ a \circ b \) をそれぞれ \( a + b, \ ab \) を \( p \) で割ったときの余り、と定める。すると集合 \( Z_p \) は演算 \( \oplus, \ \circ \) のもとで可換体であることを示せ。

問題1-3については以前に書きましたので、必要でしたらそちらをご確認ください（「一次不定方程式の整数解（問題1-3より）」「引き続き、問題1-3より」）。

問題2-2の体 \( Z_7 \) は有限体 \( \mathbb {F} _7 \) です。要素を列挙すると以下となります。

\( \mathbb {F} _7 = Z_7 = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \)

要素が7つしかありませんので、1つずつ確認していけば答えは出せますので問題2-2の解答は載せません。ただ本に掲載されていた解答は求め方の工夫がなされていました。

以前に演算表をつくりましたのでそれも載せておきます。