拡大体の大きさ

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続き。

おそらく体論のなかでは基礎の部分となりますが、僕にとってはもう少し理解したいところの大きなひとつとなるところです。

これまで $K$ 上代数的な要素 $\alpha$ を根にもつ $K$ 内の最小多項式 $f(x)$ の性質を見てきました。先取りになってしまいますが、これから、この $\alpha$ を $K$ 添加した体 $K ( \alpha )$ の性質を探っていくことになります。

次に $E$ の中で、次のような要素 $\theta$ のつくる部分集合 $E_0$ をとりあげる。
$$\theta = g( \alpha ) = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha ^{n-1}$$
ここに $g(x)$ は $K$ 内の多項式で $n$ よりも低次とする（ $n$ は $f(x)$ の次数である）。この集合 $E_0$ は加法、乗法で閉じている。乗法で閉じていることは $g(x)$ と $h(x)$ を次数が $n$ より小さい2つの多項式としたとき
$$g(x)h(x) = q(x)f(x) + r(x)$$
とおけば、$g( \alpha ) h( \alpha ) = r( \alpha )$ となることからわかる。最後にまた $c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}$ は $\theta$ から一意的に定まることがわかる。なぜなら、もし同一の $\theta$ に対して2通りの表わし方があれば、差をとることによって $\alpha$ の満たす $n$ より低次数の方程式が存在することになってしまうからである。

最初は $\theta$ や、その $\theta$ がつくる部分集合 $E_0$ が何を意味しているのかわからず、しばらく悶々としていたのですが、具体例を入れることで少し理解することができました。

有理数体上の代数的な要素である $\sqrt{2}$ を例にします。$\sqrt{2}$ の有理数体での最小多項式は $x^2 - 2$ です。引用部分に当てはめると、$\alpha = \sqrt{2}, \ f(x) = x^2 - 2$ です。このとき、$\theta = g( \sqrt{2} ) = c_0 + c_1 \sqrt{2}$ です。$g(x)$ は $K$ 内の多項式（ここでは、$g(x) = c_0 + c_1 x$ ）ですので、$c_0 , c_1$ は有理数。馴染みのある記号（いや、馴染みはないけれど）におきかえると、$\theta = p + q \sqrt{2}$ 、つまりこの例では、部分集合 $E_0$ は、
$$E_0 = \{ p + q \sqrt{2} \mid p, q \in \mathbb{ Q } \}$$
となります。

以前に、$K \subset E$ のとき、$E$ は $K$ 上のベクトル空間とみることができることを学びました。『ガロア理論入門』とは別の本ですが、$\mathbb{ Q }$ に $\sqrt{2}$ を添加した体 $\mathbb{ Q } ( \sqrt{2} )$ も $\mathbb{ Q }$ 上のベクトル空間と見なせることも知ってはいます。ここ例での $\theta$ は、$\mathbb{ Q } ( \sqrt{2} )$ の任意の要素を表わし、 $E_0$ は、$\mathbb{ Q } ( \sqrt{2} )$ を表わしています。$\theta = g( \alpha ) = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha ^{n-1}$ は、体 $K$ に $\alpha$ を添加したときの任意の要素を一般的に表わしていると考えられます。

さきに進みましょう。

さてここで、集合 $E_0$ の内部構造は、$\alpha$ の特性によって定まるものではなく、既約多項式 $f(x)$ によって定まるものであることを注意しよう。すなわち、この多項式を知れば、集合 $E_0$ における和と乗法を定めることができるわけである。この $E_0$ は実は体であることがこのあと証明され $K( \alpha )$ と書かれる。もし $E_0$ が体 $K ( \alpha )$ であることが示されたならば、$K ( \alpha )$ は線形独立な $1, \alpha, \alpha ^2 , \cdots, \alpha ^{n-1}$ で生成されることになるので
$$( K ( \alpha ) / K ) = n$$
であることが判明する。

「集合 $E_0$ の内部構造は、$\alpha$ の特性によって定まるものではなく、既約多項式 $f(x)$ によって定まる」ということも最初のうちはよくわかりませんでした。 $\theta$ の値は $\alpha$ の値によって決まるのではないか、と。しかしよくよく読んでいると、値ではなく「内部構造」という言葉が使われていますし、また $\alpha = \sqrt{2}$ として具体例を挙げて確認したときに、$f(x)$ が2次の多項式であったため、$\theta$ が2項（ $c_0$ と $c_1 \sqrt{2}$ ）の和の項となっていることに気がつきました。つまり、最小多項式が3次の多項式だったら $\theta = c_0 + c_1 \alpha + c_2 \alpha ^2$ となり、このような意味で、集合 $E_0$ の内部構造は最小多項式 $f(x)$ によって定まるといえます。

これからこの集合 $E_0$ が体であることを示していきます。そして$E_0$ が体であれば、$( K ( \alpha ) / K ) = n$ となります。いわば、$\alpha$ を添加した体はどれだけ大きく拡大するのかを示すことができるのです。