『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題。問題4-1、4-2については以前に取り扱ったので、問題4-3から。問題4-3と問題4-4は問題文とはなっていないが、証明問題だろう。解答は載せない。

問題4-3　ベクトル空間 $V$ において $\boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n }$ の中の線形独立なものの最大個数が $r$ のとき

$$\begin{eqnarray} \boldsymbol{ b_1 } &=& a_{11} \boldsymbol{ a_1 } + a_{12} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{1n} \boldsymbol{ a_n } \\ & & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ \boldsymbol{ b_m } &=& a_{m1} \boldsymbol{ a_1 } + a_{m2} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{mn} \boldsymbol{ a_n } \end{eqnarray}$$

によって $\boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m }$ を定めると、 $\boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m }$ の中の線形独立な最大個数は高々 $r$ である。

問題4-4　ベクトル空間 $V$ において $\boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m }$ が $\boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n }$ （ただし $m \gt n$）の線形和であるとき、$\boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m }$ は線形従属である。

問題4-5　$n$ 次元のベクトル空間 $V$ において $\boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_r } \ ( r \lt m )$ が線形独立のとき、 $\boldsymbol{ a_{ r+1 } }, \cdots, \boldsymbol{ a_n }$ を選んで $\boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n }$ が線形独立であるようにすることができる。これを証明せよ。

問題4-6　$V$ を $K$ 上の$n$ 次元のベクトル空間とし、$K^n$ を $K$ 上の行ベクトル空間とする。$V$ の線形独立な生成系 $\boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n }$ をとり、$V$ の任意の要素 $\boldsymbol{ a }$ を $\boldsymbol{ a } = a_1 \boldsymbol{ a_1 } + a_2 \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_n \boldsymbol{ a_n }$ と表わす。このとき、

$$\varphi : V \to K^n , \qquad \boldsymbol{ a } \to ( a_1, a_2, \cdots, a_n )$$

とすると、$\varphi$ は一対一で $K^n$ の上への写像であり

$$\varphi ( \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} ) = \varphi ( \boldsymbol{a} ) + \varphi ( \boldsymbol{b} ), \qquad \varphi ( a \boldsymbol{a} ) = a \varphi ( \boldsymbol{a} )$$

をみたすことを証明せよ。