『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題。問題4-1、4-2については以前に取り扱ったので、問題4-3から。問題4-3と問題4-4は問題文とはなっていないが、証明問題だろう。解答は載せない。

問題4-3　ベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) の中の線形独立なものの最大個数が \( r \) のとき

$$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{ b_1 } &=& a_{11} \boldsymbol{ a_1 } + a_{12} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{1n} \boldsymbol{ a_n } \\
& & \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\boldsymbol{ b_m } &=& a_{m1} \boldsymbol{ a_1 } + a_{m2} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{mn} \boldsymbol{ a_n }
\end{eqnarray}
$$

によって \( \boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) を定めると、 \( \boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) の中の線形独立な最大個数は高々 \( r \) である。

問題4-4　ベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) が \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) （ただし \( m \gt n \)）の線形和であるとき、\( \boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) は線形従属である。

問題4-5　\( n \) 次元のベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_r } \ ( r \lt m ) \) が線形独立のとき、 \( \boldsymbol{ a_{ r+1 } }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) を選んで \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) が線形独立であるようにすることができる。これを証明せよ。

問題4-6　\( V \) を \( K \) 上の\( n \) 次元のベクトル空間とし、\( K^n \) を \( K \) 上の行ベクトル空間とする。\( V \) の線形独立な生成系 \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) をとり、\( V \) の任意の要素 \( \boldsymbol{ a } \) を \( \boldsymbol{ a } = a_1 \boldsymbol{ a_1 } + a_2 \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_n \boldsymbol{ a_n } \) と表わす。このとき、

$$
\varphi : V \to K^n , \qquad \boldsymbol{ a } \to ( a_1, a_2, \cdots, a_n )
$$

とすると、\( \varphi \) は一対一で \( K^n \) の上への写像であり

$$
\varphi ( \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} ) = \varphi ( \boldsymbol{a} ) + \varphi ( \boldsymbol{b} ),
\qquad \varphi ( a \boldsymbol{a} ) = a \varphi ( \boldsymbol{a} )
$$

をみたすことを証明せよ。