第2章第2節の節末問題（問題2-4解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題。問題2-4。

問題2-4　$f(x) \in Z[x]$ が、有理数を係数にもつ2つの多項式 $g(x), h(x)$ の積に分解されるならば、実は $Z[x]$ に属する2つの多項式の積に分解されることを示せ。またとくに $f(x)$ の最高次の係数が1ならば、分解する多項式の最高次の係数も1としてよいことを示せ。

この問題のみピックアップすると、$Z[x]$ って何？となりますが、$Z[x]$ は、問題2-3に出てきたもので、整数を係数とする $x$ の多項式の全体の集合です。

何度も言いたくなってしまいますが、当たり前のように感じていることほど、証明するとなると難しいですね……。解答を見ます。

解答
$g(x), h(x)$ それぞれについて、その係数の分母の最小公倍数をくくり出し、次に係数の分子の最大公約数をくくり出して、

$g(x) = \frac { a } { b } g_0(x) , \qquad h(x) = \frac { c }{ d } h_0(x)$

とする。ここに $a, b, c, d \in Z$ で、$g_0(x) , h_0(x)$ はともに $Z[x]$ に属し、係数の最大公約数は1である。すると $f(x) = g(x) h(x)$ から

$bd f(x) = ac g_0(x) h_0(x)$

であり、問題2-3により $p \mid g_0(x) h_0(x)$ となる素数 $p$ は存在しないので、右辺の係数の最大公約数はちょうど $ac$ である。左辺からはそれが $bd$ の倍数であることを示すので $bde = ac \ ( e \in Z )$ すなわち $f(x) = e g_0(x) h_0(x)$ となり $e g_0(x) \in Z[x] , \ h_0(x) \in Z[x]$

次に $f(x)$ の最高次の係数が1で $f(x) = ( ax^n + \cdots )( bx^m + \cdots )$ とすると、整数 $a, b$ は $ab = 1$ をみたす。$a = b = -1$ のときは、全体の符号をかえればよいので $a = b = 1$ としてよい。

最初のところがよくわかりません。問題2-3で証明したことをつかうために、$g(x), h(x)$ それぞれについて、その係数の分母の最小公倍数をくくり出し、次に係数の分子の最大公約数をくくり出して、$g(x) = \frac { a } { b } g_0(x) , \ h(x) = \frac { c }{ d } h_0(x)$ としたということはわかりますが、「分母の最小公倍数をくくり出し、次に係数の分子の最大公約数をくくり出す」というのがどういったことを意味するのか。

何か具体例を作って確認してみます。

適当な有理数係数の多項式でみてみましょう。たとえば、$\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{5}{6}$ を考えます。係数の分母の最小公倍数、ここでは2, 3, 6の最小公倍数は6。係数の分子の最大公約数、ここでは1, 4, 5の最大公約数は1。くくり出してみると、
$$\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{5}{6} = \frac{1}{6} ( 3x^2 + 8x + 5 ) \\ $$
$3x^2 + 8x + 5$ の部分が、解答文での $g_0(x)$ や $h_0(x)$ に相当します。$3x^2 + 8x + 5$ は整数係数ですので、$Z[x]$ の要素です。そして $3x^2 + 8x + 5$ の係数の最大公約数は1です。

方程式を見やすくするために似たような操作をしますね。たとえば $\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{5}{6} = 0$ という方程式で、
$$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{5}{6} &=& 0 \qquad & \\ 3x^2 + 8x + 5 &=& 0 \qquad & 両辺に6を掛けた \\ \end{eqnarray}$$
というようなことをしたりします（実際には最高次の係数を1にすることが多いですが）。$\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{5}{6}$ は方程式ではなく多項式ですので、勝手に6倍したら違う式となってしまいます。多項式では、6倍したあと $\frac{1}{6}$ 倍を掛けて元に戻したという感じですかね。この $\frac{1}{6}$ 倍のところの操作を、一般化して述べたものが「係数の分母の最小公倍数をくくり出し、次に係数の分子の最大公約数をくくり出す」ということのようです。

証明の内容の方に戻ると、 $f(x) = g(x) h(x)$ ですので、$g(x), h(x)$ のところに $g(x) = \frac { a } { b } g_0(x) , h(x) = \frac { c }{ d } h_0(x)$ を代入して、
$$\begin{eqnarray} f(x) &=& g(x) h(x) \\ f(x) &=& \left( \frac { a } { b } g_0(x) \right) \left( \frac { c }{ d } h_0(x) \right) \\ f(x) &=& \frac { ac } { bd } g_0(x) h_0(x) \\ bdf(x) &=& ac g_0(x) h_0(x) \\ \end{eqnarray}$$
です。

いま $g_0(x)$ の係数の最大公約数は1、$h_0(x)$ の係数の最大公約数も同じく1ですので、$g_0(x) h_0(x)$ の係数の最大公約数も1。したがって、右辺 $ac g_0(x) h_0(x)$ の係数の最大公約数は $ac$ です。左辺からはそれが $bd$ の倍数であることを示すので、$bde = ac$ とおいています（ $e \in Z$ ）。$bd$ の $e$ 倍が $ac$ ということです。

ちなみに問題2-3で証明したことは、

$p$ を素数とし $g(x), h(x) \in Z[x]$ とするとき $p \mid g(x)h(x)$ ならば $p \mid g(x)$ または $p \mid h(x)$

です。

$bde = ac$ を、$bdf(x) = ac g_0(x) h_0(x)$ に代入して整理すると、$f(x) = e g_0(x) h_0(x)$ となり、$f(x) \in Z[x]$ が、有理数を係数にもつ2つの多項式 $g(x), h(x)$ の積に分解されるならば、$Z[x]$ に属する2つの多項式の積に分解されることが示されました。