５つのビリヤード玉の問題を考えるにあたり、ちょっと思いついたことを書いてみます。
それは、５つのビリヤード玉の数と並べ方を数列として扱えないか、というものです。
５つのビリヤード玉の答えは、①③⑩②⑤（あるいは逆に①⑤②⑩③）でした。
これを、数列として、
1, 3, 10, 2, 5, 1, 3, 10, 2, 5, …
というように、循環する数列として表せないか？ということです。
そして、これを満たすような式があるかどうか、というものです。
しかし「数列」といっても、高校生のときに習ったきり全く縁がありませんでしたので、「等差数列」と「等比数列」そして「フィボナチ数列」の名前しか出てきません(^-^;)
とりあえず、WEB上で
等差数列は、一般項：an=a1+(n-1)d、漸化式：an+1=an+d
等比数列は、一般項：an=r^(n-1)･a1、漸化式：an+1=r・an
と表せることまでは、何とか思い出しました。
PC上の表記の仕方をすぐに思いつきませんでしたので、数列aの第n項をanと、大きなフォントのaと小さなフォントのnで表しています。
（HTMLでの下付け文字や上付け文字の表記がわからず…）
ちなみに、フィボナチ数列はの漸化式（？）は、an+2=an+an+1です。
さて、５つのビリヤード玉の問題に話を戻すと、５つの数字が並ぶ循環数列（この名称が合っているのかどうかわかりませんが、とりあえずこう表現しています。ちなみに「循環数列」で検索すると、オイラー関数とかが出てきたので、今のところチンプンカンプンです。）とかんがえられます。
つまり、第1項は「1」、第2項は「3」、第3項は「10」、…、第6項はまた「1」、というような数列です。
この数列を数列aとすると、
a1=1, a2=3, a3=10, a4=2, a5=5, a6=1(=a1), a7=3(=a2), …
という感じです。
この数列を求めることができるかどうか、ということです。
５つのビリヤード玉の問題から考えると、条件として以下のようなものがあげられるかと思います。
- 数列aの各項は自然数である。
- 数列aは５つで一巡する循環数列である。
- その５つの項はそれぞれ異なる。
- ５つの項をビリヤード玉の問題のように取り出す方法は21通りある。
- その21通りの取り出し方は、1から21までの自然数と対応する。
など。
さて、解けるでしょうか？
今のところの自信は全く「なし」です(^-^;)
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