2010/12/13

5つのビリヤード玉の問題(試行錯誤編)

5つのビリヤード玉の問題を考えるにあたり、ちょっと思いついたことを書いてみます。

それは、5つのビリヤード玉の数と並べ方を数列として扱えないか、というものです。

 

5つのビリヤード玉の答えは、①③⑩②⑤(あるいは逆に①⑤②⑩③)でした。

これを、数列として、

1, 3, 10, 2, 5, 1, 3, 10, 2, 5, …

というように、循環する数列として表せないか?ということです。

そして、これを満たすような式があるかどうか、というものです。

 

しかし「数列」といっても、高校生のときに習ったきり全く縁がありませんでしたので、「等差数列」と「等比数列」そして「フィボナチ数列」の名前しか出てきません(^-^;)

とりあえず、WEB上で

等差数列は、一般項:an=a1+(n-1)d、漸化式:an+1=an+d

等比数列は、一般項:an=r^(n-1)・a1、漸化式:an+1=r・an

と表せることまでは、何とか思い出しました。

PC上の表記の仕方をすぐに思いつきませんでしたので、数列aの第n項をanと、大きなフォントのaと小さなフォントのnで表しています。

(HTMLでの下付け文字や上付け文字の表記がわからず…)

ちなみに、フィボナチ数列はの漸化式(?)は、an+2=an+an+1です。

 

さて、5つのビリヤード玉の問題に話を戻すと、5つの数字が並ぶ循環数列(この名称が合っているのかどうかわかりませんが、とりあえずこう表現しています。ちなみに「循環数列」で検索すると、オイラー関数とかが出てきたので、今のところチンプンカンプンです。)とかんがえられます。

つまり、第1項は「1」、第2項は「3」、第3項は「10」、…、第6項はまた「1」、というような数列です。

この数列を数列aとすると、

a1=1, a2=3, a3=10, a4=2, a5=5, a6=1(=a1), a7=3(=a2), …

という感じです。

この数列を求めることができるかどうか、ということです。

 

5つのビリヤード玉の問題から考えると、条件として以下のようなものがあげられるかと思います。

  • 数列aの各項は自然数である。
  • 数列aは5つで一巡する循環数列である。
  • その5つの項はそれぞれ異なる。
  • 5つの項をビリヤード玉の問題のように取り出す方法は21通りある。
  • その21通りの取り出し方は、1から21までの自然数と対応する。

など。

 

さて、解けるでしょうか?

今のところの自信は全く「なし」です(^-^;)

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