第2章第1節の節末問題（1-6解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第1節の節末問題1-6の証明です。

問題1-6　$( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q$ で $p, q$ が素数ならば $E_1 = E_2$ または $E_1 \cap E_2 = K$ であることを示せ。

解答に載っていたものは以下。ブログでの読みやすさのため、適宜改行しています。

解答
$B = E_1 \cap E_2$ とすると、$K \subset B \subset E_1$ ．
よって $( E_1 / B ) ( B / K ) = p$．
$p$ は素数であるから

$( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1$
または $( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p$．

はじめの場合 $B = K$ であり、あとの場合 $E_1 = B = E_1 \cap E_2$．
よって$K \subset E_1 \subset E_2$ となる．
このときはさらに

$( E_2 / E_1 ) ( E_1 / K ) = q \qquad \therefore ( E_2 / E_1 )p = q$

$p, q$ は素数であるから $p = q , ( E_2 / E_1 ) = 1$ でなければならない．
すなわち $E_2 = E_1$．

証明自体はそれほど難しくありませんが（思いついてはいないですが…）、$( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q$ で $p, q$ が素数ならば $E_1 = E_2$ または $E_1 \cap E_2 = K$ である、というのはおもしろいと思いました。

やっつけの図ですみませんが、ヴェン図を書いてみました。

$E_1$ , $E_2$ は $K$ の拡大体ですので、拡大次数を考えず図に書けば、以下のようになります。$B = E_1 \cap E_2$ とすると、$K \subset B \subset E_1$ です。

したがって、拡大次数の積の定理から $( E_1 / B ) ( B / K ) = ( E_1 / K )$ となり、$( E_1 / K ) = p$ ですので、$( E_1 / B ) ( B / K ) = p$ です。$p$ は素数ですので、「 $( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1$ 」となるか、「$( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p$」となります。

$( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1$ の場合、$\ ( B / K ) = 1$ から、$B = K$ つまり $E_1 \cap E_2 = K$ となります。$\ ( B / K ) = 1$ から、$B = K$ がいえることは、問題1-5で証明したことです（このブログには証明は記載していません）。

$( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p$ の場合、$( E_1 / B ) = 1$ から、$E_1 = B$ つまり $E_1 = E_1 \cap E_2$ となります。図は用意していませんが、 $E_1 = E_1 \cap E_2$ ということは、$E_1 \subset E_2$ ということですので、$K \subset E_1 \subset E_2$ となります。

ここで、拡大次数の積の定理から $( E_2 / E_1 ) ( E_1 / K ) = ( E_2 / K )$ です。$( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q$ ですので、$( E_2 / E_1 )p = q$ となります。$p, q$ は素数（ $p \neq 1$ ）ですので、 $p = q , \ ( E_2 / E_1 ) = 1$ となります。$\ ( E_2 / E_1 ) = 1$ より、$E_2 = E_1$ となります。