第2章第1節の節末問題（1-6解答）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第1節の節末問題1-6の証明です。

問題1-6　\( ( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q \) で \( p, q \) が素数ならば \( E_1 = E_2 \) または \( E_1 \cap E_2 = K \) であることを示せ。

解答に載っていたものは以下。ブログでの読みやすさのため、適宜改行しています。

解答
\( B = E_1 \cap E_2 \) とすると、\( K \subset B \subset E_1 \) ．
よって \( ( E_1 / B ) ( B / K ) = p \)．
\( p \) は素数であるから

\( ( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1 \)
または \( ( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p \)．

はじめの場合 \( B = K \) であり、あとの場合 \( E_1 = B = E_1 \cap E_2 \)．
よって\( K \subset E_1 \subset E_2 \) となる．
このときはさらに

\( ( E_2 / E_1 ) ( E_1 / K ) = q \qquad \therefore ( E_2 / E_1 )p = q \)

\( p, q \) は素数であるから \( p = q , ( E_2 / E_1 ) = 1 \) でなければならない．
すなわち \( E_2 = E_1 \)．

証明自体はそれほど難しくありませんが（思いついてはいないですが…）、\( ( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q \) で \( p, q \) が素数ならば \( E_1 = E_2 \) または \( E_1 \cap E_2 = K \) である、というのはおもしろいと思いました。

やっつけの図ですみませんが、ヴェン図を書いてみました。

\( E_1 \) , \( E_2 \) は \( K \) の拡大体ですので、拡大次数を考えず図に書けば、以下のようになります。\( B = E_1 \cap E_2 \) とすると、\( K \subset B \subset E_1 \) です。

したがって、拡大次数の積の定理から \( ( E_1 / B ) ( B / K ) = ( E_1 / K ) \) となり、\( ( E_1 / K ) = p \) ですので、\( ( E_1 / B ) ( B / K ) = p \) です。\( p \) は素数ですので、「 \( ( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1 \) 」となるか、「\( ( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p \)」となります。

\( ( E_1 / B ) = p , \ ( B / K ) = 1 \) の場合、\( \ ( B / K ) = 1 \) から、\( B = K \) つまり \( E_1 \cap E_2 = K \) となります。\( \ ( B / K ) = 1 \) から、\( B = K \) がいえることは、問題1-5で証明したことです（このブログには証明は記載していません）。

\( ( E_1 / B ) = 1 , \ ( B / K ) = p \) の場合、\( ( E_1 / B ) = 1 \) から、\( E_1 = B \) つまり \( E_1 = E_1 \cap E_2 \) となります。図は用意していませんが、 \( E_1 = E_1 \cap E_2 \) ということは、\( E_1 \subset E_2 \) ということですので、\( K \subset E_1 \subset E_2 \) となります。

ここで、拡大次数の積の定理から \( ( E_2 / E_1 ) ( E_1 / K ) = ( E_2 / K ) \) です。\( ( E_1 / K ) = p , \ ( E_2 / K ) = q \) ですので、\( ( E_2 / E_1 )p = q \) となります。\( p, q \) は素数（ \( p \neq 1 \) ）ですので、 \( p = q , \ ( E_2 / E_1 ) = 1 \) となります。\( \ ( E_2 / E_1 ) = 1 \) より、\( E_2 = E_1 \) となります。