3次方程式の解の公式の導出（補足）

3次方程式の解の公式の導出(1), (2), (3), (4), (5), (6)

3次方程式の解の公式の導出について、数回にわたり、ラグランジュ・リゾルベントによる導出を見てきました。

前回の最後、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解を $\alpha , \beta , \gamma$ として、解の公式を導きました。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \frac {1}{3} \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \beta = \frac {1}{3} \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \gamma = \frac {1}{3} \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1}$$

ここで、$\omega$ は、1の原始3乗根のひとつで、

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A = - \frac { 27q }{ 2 } \\ D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

です。

一方、カルダノの方法を見たときには、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式を最終的に以下のように書きました。

$$x = \omega ^k \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} + \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\ \qquad ( k = 0, 1, 2) \tag{2}$$

同じ3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式なのですが、見た目が異なります。$(2)$ の方は3つの解をまとめて書いているという違いはありますが、$(1)$ では、式の冒頭に $\frac {1}{3}$ がありますが、$(2)$ にはありません。

念のため、同じものであることを確認しておきます。$(1)$ の式にある $\sqrt{ D }$ について、

$$\begin{eqnarray} \sqrt{ D } &= \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 } \\\\ &= \sqrt{ \frac{ 27^2 q^2 }{ 2^2 } + \frac{ 27^2 p^3 }{ 27 }} \\\\ &= \sqrt{ 27^2 \left( \frac{ q^2 }{ 2^2 } + \frac{ p^3 }{ 3^3 } \right) } \\\\ &= 27 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 } \end{eqnarray}$$

続いて $\sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }}$ について、

$$\begin{eqnarray} \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} &= \sqrt[3]{ - \frac { 27q }{ 2 } + 27 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 }} \\\\ &= \sqrt[3]{ 3^3 \left( - \frac { q }{ 2 } \right) + 3^3 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 } } \\\\ &= 3 \sqrt[3]{ - \frac { q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 } } \end{eqnarray}$$

$\sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }}$ も同様に3乗根の外に3を出せますので、式の冒頭の $\frac {1}{3}$ が消えます。$(1)$ と $(2)$ は、やはり同じ式でした。