3次方程式の解の公式の導出（補足）

3次方程式の解の公式の導出(1), (2), (3), (4), (5), (6)

3次方程式の解の公式の導出について、数回にわたり、ラグランジュ・リゾルベントによる導出を見てきました。

前回の最後、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解を \( \alpha , \beta , \gamma \) として、解の公式を導きました。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha = \frac {1}{3} \left( \omega ^2 \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\beta = \frac {1}{3} \left( \omega \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \omega ^2 \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\gamma = \frac {1}{3} \left( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \right) \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$

ここで、\( \omega \) は、1の原始3乗根のひとつで、

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A = - \frac { 27q }{ 2 } \\
D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

です。

一方、カルダノの方法を見たときには、3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式を最終的に以下のように書きました。

$$
x = \omega ^k \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} + \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right) ^2 + \left( \frac{p}{3} \right) ^3 }} \\
\qquad ( k = 0, 1, 2)
\tag{2}
$$

同じ3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式なのですが、見た目が異なります。\( (2) \) の方は3つの解をまとめて書いているという違いはありますが、\( (1) \) では、式の冒頭に \( \frac {1}{3} \) がありますが、\( (2) \) にはありません。

念のため、同じものであることを確認しておきます。\( (1) \) の式にある \( \sqrt{ D } \) について、

$$
\begin{eqnarray}
\sqrt{ D } &= \sqrt{ \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 } \\\\
&= \sqrt{ \frac{ 27^2 q^2 }{ 2^2 } + \frac{ 27^2 p^3 }{ 27 }} \\\\
&= \sqrt{ 27^2 \left( \frac{ q^2 }{ 2^2 } + \frac{ p^3 }{ 3^3 } \right) } \\\\
&= 27 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 }
\end{eqnarray}
$$

続いて \( \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} \) について、

$$
\begin{eqnarray}
\sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} &= \sqrt[3]{ - \frac { 27q }{ 2 } + 27 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 }} \\\\
&= \sqrt[3]{ 3^3 \left( - \frac { q }{ 2 } \right) + 3^3 \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 } } \\\\
&= 3 \sqrt[3]{ - \frac { q }{ 2 } + \sqrt{ \left( \frac{ q }{ 2 } \right) ^2 + \left( \frac{ p }{ 3 } \right) ^3 } }
\end{eqnarray}
$$

\( \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \) も同様に3乗根の外に3を出せますので、式の冒頭の \( \frac {1}{3} \) が消えます。\( (1) \) と \( (2) \) は、やはり同じ式でした。