2010/11/30

5つのビリヤード玉の問題(4)

(これまでの記事のリンク)

5つのビリヤード玉の問題
5つのビリヤード玉の問題(2)
5つのビリヤード玉の問題(3)

 

さて、以下の問題について、n 個の場合についてそろそろ考えてみましょう。

「…五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな?」


笑わない数学者 MATHEMATICAL GOODBYE (講談社文庫)
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n 個の場合の問題とするには「1 から 21 までのすべての数ができるようにしたい」という部分も変えなければなりません。

「1 から 21 までまで」としたのは、玉の取り方が 21 通りあるからです。

では、n 個のビリヤード玉での玉の取り方は何通りあるかというと、n(n-1)+1 通りとなります。

で、問題を n 個のビリヤードの玉として置き換えると、以下のようになります。

「n 個のビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバ(自然数)が書かれている。さて、この n 個の玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、n個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1 から n(n-1)+1 までのすべての自然数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな?」

 

このままでは、わからないため、まずは n=1 から順に確認してみたいと思います。

 

n=1 の場合

これは答えは①のみです。

以下、「①」は「1と書かれたビリヤードの玉」とします。

(左端の数字は足し合わせた合計の数で、右側にビリヤードの玉の取り出し方)

 

n=2 の場合

2 個のビリヤード玉を使って、1 から 3 をつくることになります。

これも答えは①②となります。

  1. ①②

 

n=3 の場合

3 個のビリヤード玉を使って、1 から 7 をつくることになります。

これはちょっと考えればわかります。

①②④ですね。

  1. ①②
  2. ④①
  3. ②④
  4. ①②④

 

n=4 の場合

4 個のビリヤード玉を使って、1 から 13 をつくることになります。

自分で解いてはいないのですが、どうやらこの場合は答えが 2 通りあるようです。

[答1]①③②⑦

  1. ①③
  2. ③②
  3. ①③②
  4. ⑦①
  5. ②⑦
  6. ②⑦①
  7. ⑦①③
  8. ③②⑦
  9. ①③②⑦

[答2]①②⑥④

  1. ①②
  2. ④①
  3. ④①②
  4. ②⑥
  5. ①②⑥
  6. ⑥④
  7. ⑥④①
  8. ②⑥④
  9. ①②⑥④

 

n=5 の場合

もともとの問題で、5個の玉を使って、1から21までをつくることになります。

答えは①③⑩②⑤

  1. ①③
  2. ⑤①
  3. ②⑤
  4. ②⑤①
  5. ⑤①③
  6. ②⑤①③
  7. ⑩②
  8. ③⑩
  9. ①③⑩
  10. ③⑩②
  11. ①③⑩②
  12. ⑩②⑤
  13. ⑩②⑤①
  14. ⑤①③⑩
  15. ③⑩②⑤
  16. ①③⑩②⑤

 

n=6 の場合

6 個のビリヤード玉を使って、1 から 31 までをつくることになります。

どうやらこの解も複数の解があるようです。

(確認作業割愛・・・)

[答1]①⑦③②④⑭

[答2]①③⑥②⑤⑭

[答3]①③②⑦⑧⑩

[答4]①②⑤④⑥⑬

[答5]①②⑦④⑫⑤

 

n=7 の場合

7 個のビリヤード玉を使って、1 から 43 の数字をつくることになります。

驚くべきことに(!?)、この場合は解なしのようです。

余談ですが、森博嗣さんの『すべてがFになる』で「7は孤独な数字」と言われていたことを思い出します。

笑わない数学者 MATHEMATICAL GOODBYE (講談社文庫)
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ちなみに、n=4、6、7 の場合の解答については、こちらのサイトを参照しました。

ありがとうございます。

Blog 2pi「『笑わない数学者』のビリヤード問題」