５つのビリヤード玉の問題（４）

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５つのビリヤード玉の問題
５つのビリヤード玉の問題（２）
５つのビリヤード玉の問題（３）

　

さて、以下の問題について、n 個の場合についてそろそろ考えてみましょう。

「…五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバが書かれている。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？」

　

n 個の場合の問題とするには「1 から 21 までのすべての数ができるようにしたい」という部分も変えなければなりません。

「1 から 21 までまで」としたのは、玉の取り方が 21 通りあるからです。

では、n 個のビリヤード玉での玉の取り方は何通りあるかというと、n(n-1)+1 通りとなります。

で、問題を n 個のビリヤードの玉として置き換えると、以下のようになります。

「n 個のビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングでつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバ（自然数）が書かれている。さて、この n 個の玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、n個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバを足し合わせて、1 から n(n-1)+1 までのすべての自然数ができるようにしたい。さあ、どのナンバの玉を、どのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？」

　

このままでは、わからないため、まずは n=1 から順に確認してみたいと思います。

　

n=1 の場合

これは答えは①のみです。

以下、「①」は「1と書かれたビリヤードの玉」とします。

（左端の数字は足し合わせた合計の数で、右側にビリヤードの玉の取り出し方）

1. ①

　

n=2 の場合

2 個のビリヤード玉を使って、1 から 3 をつくることになります。

これも答えは①②となります。

1. ①
2. ②
3. ①②

　

n=3 の場合

3 個のビリヤード玉を使って、1 から 7 をつくることになります。

これはちょっと考えればわかります。

①②④ですね。

1. ①
2. ②
3. ①②
4. ④
5. ④①
6. ②④
7. ①②④

　

n=4 の場合

4 個のビリヤード玉を使って、1 から 13 をつくることになります。

自分で解いてはいないのですが、どうやらこの場合は答えが 2 通りあるようです。

［答1］①③②⑦

1. ①
2. ②
3. ③
4. ①③
5. ③②
6. ①③②
7. ⑦
8. ⑦①
9. ②⑦
10. ②⑦①
11. ⑦①③
12. ③②⑦
13. ①③②⑦

［答2］①②⑥④

1. ①
2. ②
3. ①②
4. ④
5. ④①
6. ⑥
7. ④①②
8. ②⑥
9. ①②⑥
10. ⑥④
11. ⑥④①
12. ②⑥④
13. ①②⑥④

　

n=5 の場合

もともとの問題で、5個の玉を使って、1から21までをつくることになります。

答えは①③⑩②⑤

1. ①
2. ②
3. ③
4. ①③
5. ⑤
6. ⑤①
7. ②⑤
8. ②⑤①
9. ⑤①③
10. ⑩
11. ②⑤①③
12. ⑩②
13. ③⑩
14. ①③⑩
15. ③⑩②
16. ①③⑩②
17. ⑩②⑤
18. ⑩②⑤①
19. ⑤①③⑩
20. ③⑩②⑤
21. ①③⑩②⑤

　

n=6 の場合

6 個のビリヤード玉を使って、1 から 31 までをつくることになります。

どうやらこの解も複数の解があるようです。

（確認作業割愛・・・）

［答1］①⑦③②④⑭

［答2］①③⑥②⑤⑭

［答3］①③②⑦⑧⑩

［答4］①②⑤④⑥⑬

［答5］①②⑦④⑫⑤

　

n=7 の場合

7 個のビリヤード玉を使って、1 から 43 の数字をつくることになります。

驚くべきことに（!?）、この場合は解なしのようです。

余談ですが、森博嗣さんの『すべてがFになる』で「7は孤独な数字」と言われていたことを思い出します。

　

ちなみに、n=4、6、7 の場合の解答については、こちらのサイトを参照しました。

ありがとうございます。

Blog 2pi「『笑わない数学者』のビリヤード問題」

【2019/12/13追記】上記サイト、リンク切れとなっていました。