3次方程式の解の公式の導出(2)

（(1)はこちら）

では、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式を求めていきましょう。これから紹介する方法は「カルダノの方法」と呼ばれているものです。3次方程式の解の公式のことを「カルダノの公式」ともいったりします。

カルダノというのは人名で、16世紀イタリアの人で、3次方程式の解の公式を世に出した人物です。3次方程式の解の公式は実はタルタリアという人がつくったらしいのですが、カルダノはタルタリアから解法を聞いて、タルタリアに断りなく本に書いて出したといわれています。

当時は数学バトルみたいなものがあったようです。タルタリアは秘技「3次方程式の解の公式」を自分だけの技として持っていたが、カルダノに請われ教えたところ、カルダノがみんなに教えちゃったという感じですかね。詳しい経緯は知りません。

それはさておき、カルダノの方法で3次方程式の解の公式を求めていきましょう。

で、いきなりですが、$x = s + t$ と置きます。どこからこんな方法を思いついたのかは気になるところです。とにかく$x = s + t$ を3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ に代入して以下のように式変形していきます。

$$\begin{align} (左辺) &= x^3 + px + q \\ &= (s+t)^3 + p(s+t) + q \\ &= s^3 + 3s^2 t + 3st^2 + t^3 + p(s+t) +q \\ &= s^3 + t^3 + q + 3st(s+t) + p(s+t) \\ &= s^3 + t^3 + q + (3st+p)(s+t) \end{align}$$

よって、3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ に $x = s + t$ を代入した結果、以下の方程式を得ます。

$$s^3 + t^3 + q + (3st+p)(s+t) = 0 \tag{1}$$

ここで、$s^3 + t^3 + q = 0$, $3st+p = 0$ となるような $s$, $t$ があれば、そこから $x$ を求めることができます。そこで、次の連立方程式を解いていきます。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} s^3 + t^3 + q = 0 \\ 3st+p = 0 \end{array} \right. \tag{2} \end{eqnarray}$$

$(2)$ の2つめの式より、 $t = - \frac{ p }{ 3s }$ として（ $s \neq 0$ とします。$s=0$ ならば $x = t$ となり、$x = s + t$ とした意味がなくなってしまう）、1つめの式に代入します。

$$\begin{align} s^3 + (- \frac{ p }{ 3s })^3 + q &= 0 \\ s^3 - (\frac{ p }{ 3s })^3 + q &= 0 \end{align}$$

両辺に $s^3$ を掛けると次のようになります。

$$s^6 + qs^3 - ( \frac{ p }{ 3 } )^3 = 0 \\ $$

6次式となりましたが、$S = s^3$ とすると、2次式になります。

$$\begin{align} (s^3)^2 + qs^3 - ( \frac{ p }{ 3 } )^3 &= 0 \\ S^2 + qS - ( \frac{ p }{ 3 } )^3 &= 0 \\ \end{align}$$

そこで、2次方程式の解の公式を使って、$S (= s^3)$ が求まります。

$$\begin{align} S &= \frac{ - q \pm \sqrt{ q^2 + 4(\frac{p}{3})^3 } }{ 2 } \\\\ \therefore s^3 &= - \frac{q}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 } \end{align}$$

同様のやり方で、$t^3$ も求まります。

$$t^3 = - \frac{q}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }$$

ここで、連立方程式 $(2)$ の1つめの式より、$s^3 + t^3 = -q$ ですので、$s^3$ と $t^3$ は、$- \frac{q}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }$ の平方根の前の符号が異なるものとなります。ここでは、

$$\begin{align} s^3 &= - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 } \\\\ t^3 &= - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 } \end{align}$$

としておきます。

$s^3$ と $t^3$ が求まったので、$s$ と $t$ はそれぞれの立方根となります。

$$\begin{align} s &= \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}, \\\\ & \qquad \omega \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }},\\\\ & \qquad \omega ^2 \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} \\\\ t &= \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}, \\\\ & \qquad \omega \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}, \\\\ & \qquad \omega ^2 \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}\\\\ \end{align}$$

$\omega$は 1 の3乗根です（ $\omega = \frac { -1 \pm \sqrt{3} i }{ 2 }$ ）。

$s$ と $t$ はそれぞれ3つの選択肢をもっているので、$s+t$ は9通りの可能性がありますが、連立方程式 $(2)$ の2つめの式 $3st+p = 0$ より、3通りに絞られます。$st = - \frac{p}{3}$ となる組み合わせです。その組み合わせで $s+t(=x)$ を書くと以下のようになります。

$$\begin{align} x &= \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }},\\\\ & \qquad \omega \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \omega ^2 \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }},\\\\ & \qquad \omega ^2 \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \omega \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}\\\\ \end{align}$$

これが3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式となります。3次方程式ですので、3つの解を持ちます（重解の場合もあります）が、それが上の3つに該当します。カルダノの方法が発表されたときは複素数の存在が知られていなかったため、$\omega$ を使っていない

$$x = \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}$$

を解の公式としていたようです。複素数が知られてからは、3つの解として考えられるようになりました。

3つの解をまとめて次のように書かれることもあります。

$$\begin{align} x &= \omega ^k \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} + \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[ 3 ] { - \frac{q}{2} - \sqrt{ ( \frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }}, \\ & \qquad (ただし k = 0, 1, 2) \end{align}$$