ビリヤードの問題再考（５）

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中でのビリヤード玉の問題についてあらためて考えています。

現時点では次のようなことを考えています。

\( n \) 個の自然数が、真珠のネックレスのように、リングでつながっている。この \( n \) 個の自然数のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れない。一つでも、二つでも、\( n \) 個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った自然数を足し合わせて、1から \( n(n-1)+1 \) までのすべての自然数ができるようにしたい。\( n \) がどのようなときに成り立つだろうか。あるいはどのようなときに成り立たないだろうか。

具体例があったほうが考えやすいので、\( n \) が少ないときの状況についてまとめておきます。

\( n \) が少ないときの状況（ \( n = 7 \) まで）は以下です。成り立つときを解あり、成り立たないときを解なしと表現しています。解ありの場合は解の数と実際の解も明記しております。ただし、自分自身で実際に確認したのは \( n = 5 \) までで、 \( n = 6, 7 \) のときは以前にネットで確認したものを載せています（解ありの \( n = 6 \) の解が条件を満たすことは確認済み）。

\( n=1 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 1 \)。解は1つ
$$
( 1 )
$$
\( n=2 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 3 \)。解は1つ
$$
( 1, 2 )
$$
\( n=3 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 7 \)。解は1つ
$$
( 1, 2, 4 )
$$
\( n=4 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 13 \)。解は2つ
$$
( 1, 2, 6, 4 ), \ ( 1, 3, 2, 7 )
$$
\( n=5 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 21 \)。解は1つ
$$
( 1, 3, 10, 2, 5 )
$$
\( n=6 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 31 \)。解は5つ（以下の解が条件を満たしていることは確認済み。他に解があるかどうかは未確認）
$$
( 1, 2, 5, 4, 6, 13 ), \ ( 1, 2, 7, 4, 12, 5 ), \ ( 1, 3, 2, 7, 8, 10 ), \\
( 1, 3, 6, 2, 5, 14 ), \ ( 1, 7, 3, 2, 4, 14 )
$$
\( n=7 \) のとき、\( n(n-1)+1 = 43 \)。解なし（未確認）

解があったりなかったり、またあったとしても1つだけではなく複数あったりするので、解の公式のようなものは存在しないと思われます。解き方としてはアルゴリズム的な解き方となると思います。以前にネットで見たものも、アルゴリズムをつくって、その結果を載せていたものだったと思います。