ビリヤードの問題再考（５）

森博嗣さんの『笑わない数学者』の中でのビリヤード玉の問題についてあらためて考えています。

現時点では次のようなことを考えています。

$n$ 個の自然数が、真珠のネックレスのように、リングでつながっている。この $n$ 個の自然数のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れない。一つでも、二つでも、$n$ 個全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った自然数を足し合わせて、1から $n(n-1)+1$ までのすべての自然数ができるようにしたい。$n$ がどのようなときに成り立つだろうか。あるいはどのようなときに成り立たないだろうか。

具体例があったほうが考えやすいので、$n$ が少ないときの状況についてまとめておきます。

$n$ が少ないときの状況（ $n = 7$ まで）は以下です。成り立つときを解あり、成り立たないときを解なしと表現しています。解ありの場合は解の数と実際の解も明記しております。ただし、自分自身で実際に確認したのは $n = 5$ までで、 $n = 6, 7$ のときは以前にネットで確認したものを載せています（解ありの $n = 6$ の解が条件を満たすことは確認済み）。

$n=1$ のとき、$n(n-1)+1 = 1$。解は1つ
$$( 1 )$$
$n=2$ のとき、$n(n-1)+1 = 3$。解は1つ
$$( 1, 2 )$$
$n=3$ のとき、$n(n-1)+1 = 7$。解は1つ
$$( 1, 2, 4 )$$
$n=4$ のとき、$n(n-1)+1 = 13$。解は2つ
$$( 1, 2, 6, 4 ), \ ( 1, 3, 2, 7 )$$
$n=5$ のとき、$n(n-1)+1 = 21$。解は1つ
$$( 1, 3, 10, 2, 5 )$$
$n=6$ のとき、$n(n-1)+1 = 31$。解は5つ（以下の解が条件を満たしていることは確認済み。他に解があるかどうかは未確認）
$$( 1, 2, 5, 4, 6, 13 ), \ ( 1, 2, 7, 4, 12, 5 ), \ ( 1, 3, 2, 7, 8, 10 ), \\ ( 1, 3, 6, 2, 5, 14 ), \ ( 1, 7, 3, 2, 4, 14 )$$
$n=7$ のとき、$n(n-1)+1 = 43$。解なし（未確認）

解があったりなかったり、またあったとしても1つだけではなく複数あったりするので、解の公式のようなものは存在しないと思われます。解き方としてはアルゴリズム的な解き方となると思います。以前にネットで見たものも、アルゴリズムをつくって、その結果を載せていたものだったと思います。