最小多項式の性質

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続き。

最小多項式について、3つの性質を挙げています。本では3つの性質についての一般的な証明がなされていますが、ここでは具体例を使ってその証明を見ていきたいと思います。

$\alpha$ が $K$ 上代数的のとき、$\alpha$ を根にもつ $K$ 内の $0$ でない多項式の中で最低次数のものを選び、次にそれに適当な $K$ の要素をかけて、その最高次の係数を $1$ にしたものをつくり、これを $f(x)$ で表わす。するとこの多項式 $f(x)$ について、次の3つの性質がなりたつ。

1. $g(x)$ を $g( \alpha ) = 0$ のような $K$ 内の多項式とすると $g(x)$ は $f(x)$ で割りきれる。
2. $f(x)$ は $K$ 上既約である。
3. $f(x)$ は上のつくり方のもとで一意的に定まる。

例として、 $\sqrt{2}$ の有理数体上の最小多項式 $x^2 -2$ を見てみます。上にならい、$f(x) = x^2 -2$ とします。$x^2 -2$ は $\sqrt{2}$ を根にもち、$\sqrt{2}$ は有理数体上代数的です。 $\sqrt{2}$ を根にもつ、有理数係数の中で最低次数の多項式で、最高次の係数が1ですので、$x^2 -2$ は $\sqrt{2}$ の有理数体上の最小多項式となります。

$g(x)$ を $g( \sqrt{2} ) = 0$ である有理数係数の多項式とします。$g(x)$ は、$f(x)$ よりも低次数の $r(x)$ を用いて、$g(x) = f(x) q(x) + r(x)$ と表すことができます。$g(x)$ を $f(x)$ で割った商を $q(x)$ 、余りを $r(x)$ として表わした等式です。

この等式の $x$ に、$\sqrt{2}$ を代入すると、$g( \sqrt{2} ) = f( \sqrt{2} ) q( \sqrt{2} ) + r( \sqrt{2} )$ となります。いま、$f( \sqrt{2} ) = 0$、$g( \sqrt{2} ) = 0$ ですので、$r( \sqrt{2} ) = 0$ となります。

$r( \sqrt{2} ) = 0$ ということは、$r(x)$ は \sqrt{2} を根にもちます。しかし、$r(x)$ は 有理数係数の多項式で、その次数が$f(x)$ よりも低次の多項式となりますので、零多項式でなければなりません。つまり、$g(x) = f(x) q(x) + 0 = f(x) q(x)$ となり、$g(x)$ は $f(x)$ で割りきれることになり性質1がなりたちます。

また $g(x) = f(x) q(x)$ ですので、$f(x)$ は一意に定まります。$g(x)$ を $q(x)$ で割った商がいろいろな多項式になったら困ります。

さらに、もし $f(x) = x^2 -2$ が有理数体上で因数分解できたとすると、その因子の多項式のひとつは $f(x)$ よりも低次で、$x = \sqrt{2}$ で$0$ になるものとなり、最小多項式のとり方に反します。したがって $f(x) = x^2 -2$ は有理数体上で既約です。

最小多項式の例として $x^2 -2$ で示しましたが、$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式として上と同じやり方で、3つの性質を証明することが可能です。

最小多項式の性質
$\alpha$ が $K$ 上代数的のとき、$\alpha$ を根にもつ $K$ 内の $0$ でない多項式の中で最低次数のものを選び、次にそれに適当な $K$ の要素をかけて、その最高次の係数を $1$ にしたものをつくり、これを $f(x)$ で表わす。するとこの多項式 $f(x)$ について、次の3つの性質がなりたつ。

1. $g(x)$ を $g( \alpha ) = 0$ のような $K$ 内の多項式とすると $g(x)$ は $f(x)$ で割りきれる。
2. $f(x)$ は $K$ 上既約である。
3. $f(x)$ は上のつくり方のもとで一意的に定まる。