解の公式とラグランジュ・リゾルベント(3)

3次方程式 \( ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \) の解の公式を求めていく。

3次方程式 \( ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \) の変数 \( y \) に、\(y = x - \frac{ b }{ 3a }\) を代入して3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) としたので、逆に元に戻せばいい。3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) は以下であったので、

3次方程式 \( x^3 + px + q = 0 \) の解の公式

$$
\begin{eqnarray}
x = \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\
\end{eqnarray}
$$
ただし、

• \( k = 0, 1, 2 \)
• \( \omega \) は \( 1 \) の原始 \( 3 \) 乗根
• \( A = - \frac { 27q }{ 2 } \)
• \( D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \)

とする。

\(y = x - \frac{ b }{ 3a }\) の \( x \) に、解の公式を代入して、

$$
\begin{eqnarray}
y &=& x - \frac{ b }{ 3a } \\
&=& \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} - \frac{ b }{ 3a } \\
\end{eqnarray}
$$

\( A \) と\( D \) も、3次方程式 \( ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \) の係数を使った式に戻しておこう。\(p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }\) だったので、代入して計算する。

$$
\begin{eqnarray}
A &=& - \frac { 27q }{ 2 } \\
&=& - \frac { 27 ( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } ) }{ 2 } \\
&=& - \frac { 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 2 a^3 }
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
D &=& \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\
&=& \left( \frac{ 27 ( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } ) }{ 2 } \right)^2 + 27 \left( - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } \right) ^3 \\
&=& \left( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 2 a^3 } \right)^2 - 27 \left( \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } \right) ^3 \\
&=& \frac{ ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 }{ 4 a^6 } - \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 }
\end{eqnarray}
$$

長くなりそうなので、分けて計算する。

$$
\begin{eqnarray}
& & ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 \\
&=& 4 b^6 + 81 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 36 a b^4 c - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d \\\\

& & ( b^2 - 3ac )^3 \\
&=& b^6 - 9 a b^4 c + 27 a^2 b^2 c^2 + 27 a^3 b^3
\end{eqnarray}
$$

分母をそろえるため、\( \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \) の分子・分母を4倍する。

$$
\begin{eqnarray}
& & \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \\\\
&=& \frac{ b^6 - 9 a b^4 c + 27 a^2 b^2 c^2 + 27 a^3 b^3 }{ a^6 } \\\\
&=& \frac{ 4 b^6 - 36 a b^4 c + 4 \cdot 27 a^2 b^2 c^2 + 4 \cdot 27 a^3 b^3 }{ 4 a^6 }
\end{eqnarray}
$$

分子の計算。

$$
\begin{eqnarray}
& & (4 b^6 + 81 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 36 a b^4 c - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d) \\
& & \qquad - ( 4 b^6 - 36 a b^4 c + 4 \cdot 27 a^2 b^2 c^2 + 4 \cdot 27 a^3 b^3 ) \\
&=& -27 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d - 4 \cdot 27 a^3 b^3 \\
&=& 27a^2 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 )\\
\end{eqnarray}
$$

約分して \( D \) を求める。

$$
\begin{eqnarray}
D &=& \frac{ ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 }{ 4 a^6 } - \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \\
&=& \frac{ 27a^2 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 ) }{ 4 a^6 } \\
&=& \frac{ 27 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 ) }{ 4 a^4 }
\end{eqnarray}
$$

あらためて、3次方程式 \( ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \) を \( \alpha, \beta, \gamma \) として、解と係数の関係とラグランジュ・リゾルベントより、

3次方程式の解と係数の関係

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
& \alpha + \beta + \gamma &= - \frac{b}{a} \\
& \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= \frac{c}{a} \\
& \alpha \beta \gamma &= - \frac{d}{a}&
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

3次方程式のラグランジュ・リゾルベント

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
& L_3 (1) &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma & \\
& L_3 (2) &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma & \\
& L_3 (3) &= \alpha + \beta + \gamma &
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

ラグランジュ・リゾルベントの3式を辺々足して、また、解と係数の関係から \( L_3 (3) = \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a} \) なので、

$$
\begin{eqnarray}
L_3 (1) + L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega + \omega ^2 + 1 ) \alpha + ( \omega ^2 + \omega + 1 ) \beta + 3 \gamma \\
L_3 (1) + L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \gamma \\
\therefore \gamma &=& \frac{1}{3} L_3 (1) + \frac{1}{3} L_3 (2) - \frac{b}{3a}
\end{eqnarray}
$$

解の公式の形が出てきた。

同様に、\( \alpha , \beta \) も求めてみる。

$$
\begin{eqnarray}
\omega L_3 (1) + \omega ^2 L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega ^2 + \omega ^3 + \omega ) \alpha + ( \omega ^3 + \omega ^3 + 1 ) \beta + ( \omega + \omega ^2 + 1 ) \gamma \\
\omega L_3 (1) + \omega ^2 L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \beta \\
\therefore \beta &=& \frac{1}{3} \omega L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (2) - \frac{b}{3a}
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
\omega ^2 L_3 (1) + \omega L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega ^3 + \omega ^3 + 1 ) \alpha + ( \omega ^4 + \omega ^2 + 1 ) \beta + ( \omega ^2 + \omega + 1 ) \gamma \\
\omega ^2 L_3 (1) + \omega L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \alpha \\
\therefore \alpha &=& \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega L_3 (2) - \frac{b}{3a}
\end{eqnarray}
$$

\( - \frac{b}{a} \) を \( L_3 (3) \) に戻すと、次のように書ける。

$$
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
& \alpha &= \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\
& \beta &= \frac{1}{3} \omega L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\
& \gamma &= \frac{1}{3} L_3 (1) + \frac{1}{3} L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$

\( A \) と\( D \) の計算、苦労したけど使ってない、、、。