解の公式とラグランジュ・リゾルベント(3)

3次方程式 $ay^3 + by^2 + cy + d = 0$ の解の公式を求めていく。

3次方程式 $ay^3 + by^2 + cy + d = 0$ の変数 $y$ に、$y = x - \frac{ b }{ 3a }$ を代入して3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ としたので、逆に元に戻せばいい。3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ は以下であったので、

3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の解の公式

$$\begin{eqnarray} x = \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} \\ \end{eqnarray}$$
ただし、

• $k = 0, 1, 2$
• $\omega$ は $1$ の原始 $3$ 乗根
• $A = - \frac { 27q }{ 2 }$
• $D = \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3$

とする。

$y = x - \frac{ b }{ 3a }$ の $x$ に、解の公式を代入して、

$$\begin{eqnarray} y &=& x - \frac{ b }{ 3a } \\ &=& \frac {1}{3} \omega ^k \cdot \sqrt[3]{ A + \sqrt{ D }} + \frac {1}{3} \omega ^{3-k} \cdot \sqrt[3]{ A - \sqrt{ D }} - \frac{ b }{ 3a } \\ \end{eqnarray}$$

$A$ と$D$ も、3次方程式 $ay^3 + by^2 + cy + d = 0$ の係数を使った式に戻しておこう。$p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }$ だったので、代入して計算する。

$$\begin{eqnarray} A &=& - \frac { 27q }{ 2 } \\ &=& - \frac { 27 ( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } ) }{ 2 } \\ &=& - \frac { 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 2 a^3 } \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} D &=& \left( \frac{ 27q }{ 2 } \right)^2 + 27p^3 \\ &=& \left( \frac{ 27 ( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } ) }{ 2 } \right)^2 + 27 \left( - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } \right) ^3 \\ &=& \left( \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 2 a^3 } \right)^2 - 27 \left( \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } \right) ^3 \\ &=& \frac{ ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 }{ 4 a^6 } - \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \end{eqnarray}$$

長くなりそうなので、分けて計算する。

$$\begin{eqnarray} & & ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 \\ &=& 4 b^6 + 81 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 36 a b^4 c - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d \\\\ & & ( b^2 - 3ac )^3 \\ &=& b^6 - 9 a b^4 c + 27 a^2 b^2 c^2 + 27 a^3 b^3 \end{eqnarray}$$

分母をそろえるため、$\frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 }$ の分子・分母を4倍する。

$$\begin{eqnarray} & & \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \\\\ &=& \frac{ b^6 - 9 a b^4 c + 27 a^2 b^2 c^2 + 27 a^3 b^3 }{ a^6 } \\\\ &=& \frac{ 4 b^6 - 36 a b^4 c + 4 \cdot 27 a^2 b^2 c^2 + 4 \cdot 27 a^3 b^3 }{ 4 a^6 } \end{eqnarray}$$

分子の計算。

$$\begin{eqnarray} & & (4 b^6 + 81 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 36 a b^4 c - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d) \\ & & \qquad - ( 4 b^6 - 36 a b^4 c + 4 \cdot 27 a^2 b^2 c^2 + 4 \cdot 27 a^3 b^3 ) \\ &=& -27 a^2 b^2 c^2 + 27^2 a^4 d^4 - 18 \cdot 27 a^3 b c d + 4 \cdot 27 a^2 b^3 d - 4 \cdot 27 a^3 b^3 \\ &=& 27a^2 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 )\\ \end{eqnarray}$$

約分して $D$ を求める。

$$\begin{eqnarray} D &=& \frac{ ( 2b^3 - 9abc + 27a^2d ) ^2 }{ 4 a^6 } - \frac{ ( b^2 - 3ac )^3 }{ a^6 } \\ &=& \frac{ 27a^2 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 ) }{ 4 a^6 } \\ &=& \frac{ 27 (27 a^2 d^4 - 4 a b^3 - 18 a b c d + 4 b^3 d - b^2 c^2 ) }{ 4 a^4 } \end{eqnarray}$$

あらためて、3次方程式 $ay^3 + by^2 + cy + d = 0$ を $\alpha, \beta, \gamma$ として、解と係数の関係とラグランジュ・リゾルベントより、

3次方程式の解と係数の関係

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} & \alpha + \beta + \gamma &= - \frac{b}{a} \\ & \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= \frac{c}{a} \\ & \alpha \beta \gamma &= - \frac{d}{a}& \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

3次方程式のラグランジュ・リゾルベント

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} & L_3 (1) &= \omega \alpha + \omega ^2 \beta + \gamma & \\ & L_3 (2) &= \omega ^2 \alpha + \omega \beta + \gamma & \\ & L_3 (3) &= \alpha + \beta + \gamma & \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

ラグランジュ・リゾルベントの3式を辺々足して、また、解と係数の関係から $L_3 (3) = \alpha + \beta + \gamma = - \frac{b}{a}$ なので、

$$\begin{eqnarray} L_3 (1) + L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega + \omega ^2 + 1 ) \alpha + ( \omega ^2 + \omega + 1 ) \beta + 3 \gamma \\ L_3 (1) + L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \gamma \\ \therefore \gamma &=& \frac{1}{3} L_3 (1) + \frac{1}{3} L_3 (2) - \frac{b}{3a} \end{eqnarray}$$

解の公式の形が出てきた。

同様に、$\alpha , \beta$ も求めてみる。

$$\begin{eqnarray} \omega L_3 (1) + \omega ^2 L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega ^2 + \omega ^3 + \omega ) \alpha + ( \omega ^3 + \omega ^3 + 1 ) \beta + ( \omega + \omega ^2 + 1 ) \gamma \\ \omega L_3 (1) + \omega ^2 L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \beta \\ \therefore \beta &=& \frac{1}{3} \omega L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (2) - \frac{b}{3a} \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} \omega ^2 L_3 (1) + \omega L_3 (2) + L_3 (3) &=& ( \omega ^3 + \omega ^3 + 1 ) \alpha + ( \omega ^4 + \omega ^2 + 1 ) \beta + ( \omega ^2 + \omega + 1 ) \gamma \\ \omega ^2 L_3 (1) + \omega L_3 (2) - \frac{b}{a} &=& 3 \alpha \\ \therefore \alpha &=& \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega L_3 (2) - \frac{b}{3a} \end{eqnarray}$$

$- \frac{b}{a}$ を $L_3 (3)$ に戻すと、次のように書ける。

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} & \alpha &= \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\ & \beta &= \frac{1}{3} \omega L_3 (1) + \frac{1}{3} \omega ^2 L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\ & \gamma &= \frac{1}{3} L_3 (1) + \frac{1}{3} L_3 (2) + \frac{1}{3} L_3 (3) \\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

$A$ と$D$ の計算、苦労したけど使ってない、、、。