第2章第2節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節の節末問題。なかなかハードです。

問題2-1　$K$ 内の2つの多項式 $f(x) , g(x) \neq 0$ に対して

$f(x) = q(x)g(x) + r(x) , \qquad \mathrm{deg} \ r(x) \lt \mathrm{deg} \ g(x)$

となる $q(x) , r(x)$ が定まることを $f(x)$ の次数についての帰納法で示せ。また $q(x) , r(x)$ の一意性を示せ。

問題2-2　第1章、問題1-3で扱った可換体 $Z_p$ において $p=7$ にとる。体 $Z_7$ において、次の各方程式を満足する要素を求めよ。

(1) $3x=4$
(2) $x^2 + x + 1 = 0$
(3) $x^2 -3 = 0$

問題2-3　整数全体の集合を $Z$ とし、整数を係数とする $x$ の多項式の全体の集合を $Z[x]$ とする。$f(x) \in Z[x]$ に対して $f(x) = a f_0 (x)$ となる $a \in Z , f_0 (x) \in Z[x]$ が存在するとき $a \mid f(x)$ で表わす。いま $p$ を素数とし $g(x), h(x) \in Z[x]$ とするとき $p \mid g(x)h(x)$ ならば $p \mid g(x)$ または $p \mid h(x)$ を示せ。

問題2-4　$f(x) \in Z[x]$ が、有理数を係数にもつ2つの多項式 $g(x), h(x)$ の積に分解されるならば、実は $Z[x]$ に属する2つの多項式の積に分解されることを示せ。またとくに $f(x)$ の最高次の係数が1ならば、分解する多項式の最高次の係数も1としてよいことを示せ。

問題2-5　次の各多項式は有理数体 $Q$ 上既約であることを示せ。

(1) $f(x) = x^5 -x -1$
(2) $x^4 +8$

問題2-6　$f(x) = x^5 - ax -1$ が有理数体上可約となるように整数 $a$ を定めよ。

問題2-7　$p$ は素数、$a_0, a_1, \cdots, a_n$ は整数で、

(1) $p \nmid a_n \quad$ (2) $p \mid a_i ( i = 0, 1, 2, \cdots, n-1 ) \quad$ (3) $p^2 \nmid a_0$

のとき $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ は有理数体 $Q$ 上既約であることを示せ。

問題2-8　前問を用いて、次の多項式は有理数体上既約であることを示せ。

(1) $x^3 -3$
(2) $x^4 -8x^2 +2$
(3) $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$