【定理7】【定理8】の証明

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節続き。

定理7（クロネッカーの定理）と定理8の証明です。

定理7.（クロネッカー）
$f(x)$ を体 $K$ における定数でない多項式とするとき、$K$ の拡大体 $E$ で、$f(x)$ がその中に根をもつものが存在する。

非常に簡潔に証明が書かれており、証明は「 $f(x)$ の1つの既約因子をとり、これを用いて上でつくった拡大体 $E_1$ をつくればよい」のみ。

定理8.
$\sigma$ を体 $K$ から体 $K'$ の上への同型写像とする。$f(x)$ を $K$ 内の既約多項式とし、その像を $f'(x)$ とする。$f( \alpha ) = 0$ を満たす $\alpha$ による拡大体を $E = K( \alpha )$ とし、$f'( \alpha ' ) = 0$ を満たす $\alpha '$ による拡大体を $E' = K'( \alpha ' )$ とする。すると $\sigma$ は $\alpha$ の像が $\alpha '$ であるような $E$ から $E'$ の上への同型写像に延長される。

証明　$E$ の任意の要素 $\theta$ は $\theta = g( \alpha )$ の形をしている。ここに $g(x)$ は $K$ 内の多項式で、その次数は $f(x)$ よりも低いものである。$\theta$ に $g'( \alpha ' )$ を像として対応づけよう。この写像は明らかに与えられた写像 $\theta$ の延長であり、$E$ を $E'$ の上へ一対一に写像する。このとき2要素の和は像の和に写像されることは明らかである。また $g( \alpha ) h ( \alpha ) = r ( \alpha )$ とすると $r( \alpha )$ は $g( \alpha ) h ( \alpha )$ の $f(x)$ を法とした剰余であり、したがって $g(x) h(x) = q(x)f(x) + r(x)$ のような多項式 $q(x)$ が存在する。ここで多項式の像を考えると $g'(x) h'(x) = q'(x)f'(x) + r'(x)$ であり、$x = \alpha '$ に対して $g'( \alpha ') h'( \alpha ') = r'( \alpha ')$ となる。よって2要素の積は像の積に写像される。

（証明終り）

そして、この定理8により、「1つの既約方程式の根によって生成された拡大体の構造は、その根の選び方に関係しない」という特性が示されたことになります。