2次方程式の判別式

2次方程式 $ax^2 +bx + c = 0 ( a \neq 0 )$ の解の公式、
$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }}{ 2a }$$
の根号（ルート）の中身である $b^2 - 4ac$ は、2次方程式の判別式と呼ばれる。判別式のことを英語で discriminant というので、判別式は $D$ で表記されることが多い。
$$D = b^2 - 4ac$$
判別式が何を判別しているのかというと、解がどのようなものなのかを判別している。

ここでは、2次方程式 $ax^2 +bx + c = 0$ の係数 $a, b, c$ は有理数としよう。またこの2次方程式の解を $\alpha , \beta$ とする。

2次方程式の判別式 $D$ は、最初に述べたように、2次方程式の解の公式にある根号（ルート）の中身である。 $D = 0$ であれば、$\sqrt{D} = 0$ となり、解は
$$x = \frac{ -b \pm 0 }{ 2a } = - \frac{ b }{ 2a }$$
となる。2次方程式は基本的に2つの解をもつが、このときの解は1つである。解が1つというのは $\alpha = \beta$ のときであると考えて、重解をもつという。$D = 0$ であれば、重解をもつ。ここでは係数は有理数であるので、解 $- \frac{ b }{ 2a }$ も有理数である。

$D \gt 0$ のときは、2つの実数解をもつ。係数 $a, b, c$ が有理数であっても根号が残るので、解は実数となる。ただし、$D$ が平方数であれば根号がはずれ、解が有理数となる。

$D \lt 0$ のときは、2つの虚数解をもつ。根号の中身がマイナスとなるので、実数範囲では解なしとなる。

四則演算ができる数の集合を体という。また係数が属する体を係数体と呼ぶ。

係数体が有理数体であるとき、$D = 0$ であれば解も係数体である有理数体に属する。また $D$ が平方数であるときも解は有理数体に属する。$D$ が平方数でなく、$D \gt 0$ のときは、有理数範囲では解なしとなる。解は、係数体である有理数体ではなく、実数体に属する。$D \lt 0$ のときは実数体にもなく、解は複素数体に属する。

判別式は差積で定義されている。2次方程式の解の差積は $\alpha - \beta$（あるいは $\beta - \alpha$）である。差積は $\Delta$ で書かれることが多い。この差積 $\Delta$ を2乗して、解と係数の関係を使って係数で表すと、
$$\begin{eqnarray} \Delta ^2 = ( \alpha - \beta )^2 &=& \alpha ^2 - 2 \alpha \beta + \beta ^2 \\ &=& ( \alpha ^2 + 2 \alpha \beta + \beta ^2 ) - 4 \alpha \beta \\ &=& ( \alpha + \beta ) ^2 - 4 \alpha \beta \\ &=& \left( - \frac{b}{a} \right ) ^2 - 4 \left( \frac{c}{a} \right ) \\ &=& \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} \\ &=& \frac{ b^2 - 4ac }{a^2} \end{eqnarray}$$
と、分子に判別式 $b^2 - 4ac$ が現れる。

2次方程式 $ax^2 +bx + c = 0$ の両辺を $a$ で割って、 $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ とし、$p = \frac{b}{a}, q = \frac{c}{a}$とすると、$x^2 + px + q = 0$ と書ける。解は $\alpha , \beta$ で変わらない。

この2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ での解の公式は、
$$x = \frac{ -p \pm \sqrt{ p^2 - 4q }}{ 2 }$$
となり、判別式は $D = p^2 - 4q$ となる。また、差積 $\Delta ^2$ は、
$$\begin{eqnarray} \Delta ^2 = ( \alpha - \beta )^2 &=& ( \alpha + \beta ) ^2 - 4 \alpha \beta \\ &=& ( - p ) ^2 - 4q \\ &=& p^2 - 4q \end{eqnarray}$$
となり、判別式に一致する。

重解をもつときは $\alpha = \beta$ のときであり、言い換えると、 $\alpha - \beta = 0$ のときである。判別式 $D = \Delta ^2$ であればよくわかる。また $\alpha, \beta$ が有理数であれば、$\Delta = \alpha - \beta$ も有理数となり、$D = \Delta ^2$ は有理数の平方数となることもよくわかる。