多項式の剰余演算

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続き。

\( K \subset E \) で、体 \( K \) 上の代数的な \( E \) の要素 \( \alpha \) の最小多項式 \( f(x) \) の性質を確認し、いまは次のような要素 \( \theta \) のつくる \( E \) の部分集合 \( E_0 \) が体であり、\( K ( \alpha ) \) であることを示そうとしています。そのために、 まずは \( E_0 \) を模写した \( E_1 \) が体であることを示そうとしています。 \( E_1 \) に体の乗法として新しい乗法を定義し、新しい乗法と通常の乗法との対応、そして \( E_1 \) が体の定義に当てはまるかどうかの確認をしているところです。

新しい乗法を \( g( \xi ) \times h( \xi ) \) と表わします。そして \( g( \xi ) \times h( \xi ) \) とは、通常の積 \( g( \xi ) h( \xi ) \) の \( f(x) \) を法とした剰余 \( r( \xi ) \) のことです。

前回は、\( g_1 ( \xi ) \times g_2 ( \xi ) \times \cdots \times g_m( \xi ) \) は通常の積 \( g_1 ( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m( \xi ) \) の剰余に等しいことを示しました。今回はこの続きです。

さて、この事実からわれわれの新しい積が結合法則および交換法則をみたすことがわかる。また通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) の次数が \( n \) に達しないときは、新しい意味での積 \( g_1 ( \xi ) \times g_2 ( \xi ) \times \cdots \times g_m( \xi ) \) はこの通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) に一致することもわかる。この新しい乗法が分配法則を満たすことも簡単に示すことができる。

証明は記載されていませんし、ここでの証明もしませんが、新しい乗法が結合法則、交換法則を満たすこと、通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) の次数が \( n \) に達しないときは、新しい意味での積 \( g_1 ( \xi ) \times g_2 ( \xi ) \times \cdots \times g_m( \xi ) \) はこの通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) に一致すること、分配法則を満たすことを確認しています。

集合 \( E_1 \) は体 \( K \) を含み、 \( E_1 \) における新しい乗法を \( K \) 内に限れば、 \( K \) 内のもともとの乗法に一致している。また \( \xi \) は \( E_1 \) に含まれている多項式の1つである。これ自身を \( i \) 回かけた結果は、\( i \lt n \) である限り \( \xi ^i \) である。ところが \( i = n \) のときは多項式 \( \xi ^n \) の剰余を計算しなければならない。この剰余は次のようになる。
$$
\xi ^n - f( \xi ) = -a_{n-1} \xi ^{n-1} - a_{n-2} \xi ^{n-2} - \cdots - a_0
$$

通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) の次数が \( n \) に達しないときは、新しい意味での積 \( g_1 ( \xi ) \times g_2 ( \xi ) \times \cdots \times g_m( \xi ) \) はこの通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) に一致しますが、通常の積 \( g_1( \xi ) g_2 ( \xi ) \cdots g_m ( \xi ) \) の次数が \( n \) に達したときには違いが生じます。

整数の割り算の余りは、割る数よりも小さくなければいけません。たとえば13÷5＝2余り3ですが、13÷5＝1余り8とはしません。多項式の割り算の余り（剰余）も条件があり、多項式の場合は、法である割る多項式（表現を知らないが、整数の割り算で割る数にあたる多項式）の次数よりも低次であることが条件となります。

ここで考えている新しい乗法での法は f(x) で、次数はn です。ですので次数がnの多項式は余りとはなりません。

13÷5＝1余り8のように余りが割る数を超えているとき、余り8から5を引いて余り3とします（その分、商も変わります）。多項式の余りも、割る数（割る多項式）の次数を超えてしまった場合、余りからその次数の項が消えるように引き算します。それが \( \xi ^n - f( \xi ) \) という式の意味するところです。