多項式（可約と既約）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節に入ります。第2節は「多項式」です。比較的理解しやすいところでした。

\( a_0, \cdots, a_n \) が体 \( K \) の要素で \( a_0 \neq 0 \) のとき \( a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \) の形をした式を \( K \) 内の次数 \( n \) の多項式という。多項式の積と和は通常のように行なわれる^*)。

*) 多項式 \( 0 \) は通常の意味での次数をもたないが、\( n \) より小さい次数の多項式全体の集合をとりあげたとき、\( 0 \) もその集合の中に含めておくことにする（なお \( 0 \) の次数は \( - \infty \) と定めてもよい）。[訳者注]

\( K \) 内の多項式は、それが \( K \) 内の正の次数をもつ2つの多項式の積として表わされるとき可約であるといわれる。定数でない多項式が \( K \) 内で可約でないとき、 \( K \) 内で既約であるといわれる。

学校（中学校？高校？）で習った多項式を思い浮かべればいい。可約・既約についても、因数分解できるかできないかと考えれば難しくはありません。

しかし、体の観点が必要であることは注意しなければなりません。『数学ガール／ガロア理論』より、ミルカさんに登場してもらいましょう。

「ともかく、ここで重要なのは可約・既約だ」とミルカさんが言った。「多項式の因数分解ができるかできないかを議論するとき、どの体で考えるかを明確にする必要がある」
「どの体で……考えるか？」とユーリ。
「そう。それを明確にしないと、因数分解ができるともできないともいえなくなるからだ。たとえば、こんなクイズはどうだろう」

多項式 \( x^2 + 1 \) は因数分解できるか？

「因数分解できない！」とユーリが即座に答える。
「いえ」とテトラちゃんが言う。「こうすれば因数分解できます」

\( x^2 + 1 = ( x + i ) ( x - i ) \)

「いきなり \( i \) とか?!」とユーリが言う。
「それが《体を明確にする必要性》だ」とミルカさんが言った。「係数を有理数体 \( \mathbb{ Q } \) の範囲で考えるなら、\( x^2 + 1 \) は因数分解できない。つまり既約だ。しかし、係数を複素数体 \( \mathbb{ C } \) の範囲で考えるなら、\( x^2 + 1 \) は二つの多項式 \( x + i \) と \( x - i \) に因数分解できる。つまり可約になる」

• 有理数体 \( \mathbb{ Q } \) 上で、\( x^2 + 1 \) は既約である。
• 複素数体 \( \mathbb{ C } \) 上で、\( x^2 + 1 \) は可約である。

可約と既約について一通り理解できたところで次に進みましょう。

『ガロア理論入門』ではこれからいくつかの多項式の性質について述べられています。ある程度理解できていることが多かったので、少し飛ばして次の補題を確認していきます。

補題　\( f(x) \) を \( K \) 内の次数 \( n \) の既約多項式とするとき、0と異なる2つの \( K \) 内の多項式でそれらの次数が \( n \) より小、しかもそれらの積は \( f(x) \) で割りきれるようなものは存在し得ない。