多項式（可約と既約）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第2節に入ります。第2節は「多項式」です。比較的理解しやすいところでした。

$a_0, \cdots, a_n$ が体 $K$ の要素で $a_0 \neq 0$ のとき $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ の形をした式を $K$ 内の次数 $n$ の多項式という。多項式の積と和は通常のように行なわれる^*)。

*) 多項式 $0$ は通常の意味での次数をもたないが、$n$ より小さい次数の多項式全体の集合をとりあげたとき、$0$ もその集合の中に含めておくことにする（なお $0$ の次数は $- \infty$ と定めてもよい）。[訳者注]

$K$ 内の多項式は、それが $K$ 内の正の次数をもつ2つの多項式の積として表わされるとき可約であるといわれる。定数でない多項式が $K$ 内で可約でないとき、 $K$ 内で既約であるといわれる。

学校（中学校？高校？）で習った多項式を思い浮かべればいい。可約・既約についても、因数分解できるかできないかと考えれば難しくはありません。

しかし、体の観点が必要であることは注意しなければなりません。『数学ガール／ガロア理論』より、ミルカさんに登場してもらいましょう。

「ともかく、ここで重要なのは可約・既約だ」とミルカさんが言った。「多項式の因数分解ができるかできないかを議論するとき、どの体で考えるかを明確にする必要がある」
「どの体で……考えるか？」とユーリ。
「そう。それを明確にしないと、因数分解ができるともできないともいえなくなるからだ。たとえば、こんなクイズはどうだろう」

多項式 $x^2 + 1$ は因数分解できるか？

「因数分解できない！」とユーリが即座に答える。
「いえ」とテトラちゃんが言う。「こうすれば因数分解できます」

$x^2 + 1 = ( x + i ) ( x - i )$

「いきなり $i$ とか?!」とユーリが言う。
「それが《体を明確にする必要性》だ」とミルカさんが言った。「係数を有理数体 $\mathbb{ Q }$ の範囲で考えるなら、$x^2 + 1$ は因数分解できない。つまり既約だ。しかし、係数を複素数体 $\mathbb{ C }$ の範囲で考えるなら、$x^2 + 1$ は二つの多項式 $x + i$ と $x - i$ に因数分解できる。つまり可約になる」

• 有理数体 $\mathbb{ Q }$ 上で、$x^2 + 1$ は既約である。
• 複素数体 $\mathbb{ C }$ 上で、$x^2 + 1$ は可約である。

可約と既約について一通り理解できたところで次に進みましょう。

『ガロア理論入門』ではこれからいくつかの多項式の性質について述べられています。ある程度理解できていることが多かったので、少し飛ばして次の補題を確認していきます。

補題　$f(x)$ を $K$ 内の次数 $n$ の既約多項式とするとき、0と異なる2つの $K$ 内の多項式でそれらの次数が $n$ より小、しかもそれらの積は $f(x)$ で割りきれるようなものは存在し得ない。