一次不定方程式の整数解（問題1-3より）

あらためて、エミール・アルティン『ガロア理論入門』問題1-3についてです。

問題1-3　p を素数とし、

Z_p = {0, 1, 2, …, p-1}

とする。a∈Z_p、b∈Z_p のとき、a⊕b、a○b をそれぞれ a + b、ab を p で割ったときの余り、と定める。すると集合 Z_p は演算⊕、○のもとで可換体であることを示せ。

先に、本にある解答を載せておきます。

体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。a ≠ 0 のとき a○b = 1 となる b の存在を示す。a は 1, 2, …, p-1 のどれかであるから、p と互いに素である。よって ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在する。このとき x = pq + r (0≦r＜p) のような q, r をとると、

apq + ar + py = 1　　∴ar = p (- aq - y) + 1

よって ar を p で割った余りは 1 であり、r∈Z_p であるから a○r = 1。この r を b にとればよい。

大部分が省略されています……。

ひとまず解答にある内容を確認すると、演算○についての逆元があるかどうかをチェックしています。

「よって ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在する」という部分がわからなかったので調べたのですが、a と p が互いに素であれば、ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在するというのは高校範囲の数学で勉強しているようです……。

高校数学の美しい物語「一次不定方程式ax+by=cの整数解」に、「 ax+by=1 が整数解を持つ ⟺ a と b が互いに素」の証明が載っているのですが、ここでやっている証明、いま取り組んでいる問題1-3と絡んでいるようです。特に「a と b が互いに素」ならば「 ax+by=1 が整数解を持つ」という証明の方が。

「a と b が互いに素 ⇒ ax+by=1 が整数解を持つ」の証明

a と b が互いに素なとき a, 2a, 3a, ⋯, (b−1)a を b で割った余りは全て異なる（※）ので，余りが1となるようなものが存在する。
それを ma とおき，b で割った商を n とおくと，

ma = bn + 1

つまり，am − bn = 1 となり(m, −n) は整数解になっている。
※の証明(背理法)
ia と ja ( i ＞ j ) を b で割った余りが同じだと仮定すると，(i − j)a は b の倍数となるはずだが，1≦ i − j ＜ b かつ a と b は互いに素なのでこれは矛盾。

問題1-3での集合 Z_p の要素は、0 と p-1 以下の自然数で、pは素数ですので、 Z_p の 0 以外の要素と p は互いに素の関係にあります。先の証明の内容「a と b が互いに素なとき a, 2a, 3a, ⋯, (b−1)a を b で割った余りは全て異なる」で、a を 1、b を p とすると、Z_p の 0 以外の要素 1, 2, ……, p-1 をpで割った余りは全て異なるということになります（p よりも小さい自然数を p で割るので、そのときの商は 0 で、割られる数そのものがそのまま余りとなります）。

さて、集合 Z_p についてですが、この集合は演算＋（加算）、演算✕（乗算）に関して体ではありません。Z_p は、0 と p-1以下の自然数（正の整数）ですので、演算に関する逆元が存在しません。Z_p の Z から整数環の類推も働きます。

似たような話が、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』に載っています。整数環・剰余環・有限体の話です。

長くなりそうなので、今回はここまで。