引き続き、問題1-3より

引き続き、エミール・アルティン『ガロア理論入門』問題1-3についてです。

問題1-3　p を素数とし、

Z_p = {0, 1, 2, …, p-1}

とする。a∈Z_p、b∈Z_p のとき、a⊕b、a○b をそれぞれ a + b、ab を p で割ったときの余り、と定める。すると集合 Z_p は演算⊕、○のもとで可換体であることを示せ。

前回、集合 Z_p について、

• 加法（＋）・乗法（✕）に関して閉じておらず、逆元も存在しないことから体ではないこと
• 0以外の要素について、pと互いに素であり、pで割った余りは全て異なること

を書きました。

問題を解くにあたり、まずは実際に、a + b と ab の演算表を作ってみました（図では a + b の演算表を＋、ab の演算表を✕としています）。

たとえば a + b は、a = b = p-1 のとき最大になり、a + b = 2p-2 です。これを p で割ったときの余り、つまり a⊕b は p-2 になります（余りなので 0≦ a⊕b ＜ p）。このようにして、a⊕b、a○b の演算表も作成しました。3○3 などに具体的な数値を入れていますが、p の値によっては p より大きくなる可能性があります。その際はその値から p を引けば余りになります。

まず演算⊕に関して、余りの定義より 0≦ a⊕b ＜ p であるため、閉じていて、単位元 0 が存在します。ここには書きませんが、結合法則、交換法則も満たします。どの行にも単位元である 0 が現れるため、逆元も存在します。よって演算⊕に関してアーベル群であるといえます。

演算○に関しても、閉じていて、単位元 1 が存在し、結合法則を満たします。また、0 以外の要素で逆元も存在します（前回の解答参照）。そして交換法則も満たします。

演算⊕と○に関する分配法則についても満たしており、集合 Z_p は可換体であるといえます。

きちんとした証明ではないかもしれませんが、この問題はこれで。


問題文を読んだときには結びついていなかったのですが、このあたりの話が結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』に載っていました。時計巡回の話から mod の話、群、環、体についての話と続きます。そこでの話と、この問題で考えていた集合 Z_p や、演算⊕、○についての備考として、

• Z/pZ 剰余環、そして、p を素数として剰余環 Z/pZ を体と見なすとき有限体 F_p と呼ぶ。
• a⊕b = (a + b) mod p、a○b = ab mod p と定義できる（と思う）。

ということも自分用に記しておきたいと思います。