引き続き有限体Ｆpについて（フェルマーの小定理）

前回具体例として挙げた、有限体Ｆ₂、Ｆ₃、Ｆ₅、Ｆ₇で、問題と解説にあった内容を確認したいと思います。任意の要素ということなので、まずは全ての要素についてｘ^q＝ｘを確認していきます。

問題1-4
有限個の要素からなる体を有限体という。有限体Ｋがｑ個の要素をもてば、Ｋの任意の要素ｘはｘ^q＝ｘを満たすことを証明せよ（実は有限体はすべて可換であることが証明される）。

（解答）
０を除くｑ－１個の要素は乗法に関して位数がｑ－１の群をつくる。よってｘ≠０のときｘ^q-1＝１。よってｘ^q＝ｘ。ｘ＝０もこれを満たす。

Ｆ₂＝｛0, 1｝

0²＝0
1²＝1

Ｆ₃＝｛0, 1, 2｝

0³＝0
1³＝1
2³＝2 (mod 3)

Ｆ₅＝｛0, 1, 2, 3, 4｝

0⁵＝0
1⁵＝1
2⁵＝2 (mod 5)
3⁵＝3 (mod 5)
4⁵＝4 (mod 5)

Ｆ₇｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6｝

0⁷＝0
1⁷＝1
2⁷＝2 (mod 7)
3⁷＝3 (mod 7)
4⁷＝4 (mod 7)
5⁷＝5 (mod 7)
6⁷＝6 (mod 7)

確かに、有限体Ｆ₂、Ｆ₃、Ｆ₅、Ｆ₇において、任意の要素ｘ^q＝ｘを満たします。mod の性質が絡んでいるようですね。

そこで、mod に関する定理とかに何かｘ^q＝ｘのようなものはないかと探したところ、「フェルマーの小定理」が見つかりました（参考：高校数学の美しい物語「フェルマーの小定理の証明と例題」）。

フェルマーの小定理：
p が素数，a が任意の自然数のとき
a^p ≡ a mod p
特に p が素数で，a が p と互いに素な自然数のとき
a^p−1 ≡ 1 mod p

あ、先の要素ごとの計算、書き方まずかったですかね。mod では「＝（イコール、等号）」ではなく「≡」を使います。「≡」は何と読むか知りませんが、"合同（ごうどう）"と入力して変換すると出てきます。等号（＝）を使った式を等式といいますが、合同（≡）を使った式を合同式といいます。

フェルマーの小定理の証明は、参考したサイトに掲載されているので、ここでは省略。

有限体Ｆ₂、Ｆ₃、Ｆ₅、Ｆ₇について、ｘ^q＝ｘを具体的に確認しましたが、これは 7 より大きな素数での有限体Ｆ_pにもあてはまります。

問題1-4の「有限体Ｋがｑ個の要素をもてば、Ｋの任意の要素ｘはｘ^q＝ｘを満たす」ということは、「有限体Ｋがｑ個の要素をもてば、Ｋの任意の要素ｘはフェルマーの小定理を満たす」とも言えそうです。

ということは、有限個の要素からなる体は、有限体Ｆ_p、つまり素数 p を法とした剰余環 Z/pZ となる、ということを言っているのかもしれません。