『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第1章第4節の節末問題。問題4-1、4-2については以前に取り扱ったので、問題4-3から。問題4-3と問題4-4は問題文とはなっていないが、証明問題だろう。解答は載せない。

問題4-3　ベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) の中の線形独立なものの最大個数が \( r \) のとき

$$
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{ b_1 } &=& a_{11} \boldsymbol{ a_1 } + a_{12} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{1n} \boldsymbol{ a_n } \\
& & \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\boldsymbol{ b_m } &=& a_{m1} \boldsymbol{ a_1 } + a_{m2} \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_{mn} \boldsymbol{ a_n }
\end{eqnarray}
$$

によって \( \boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) を定めると、 \( \boldsymbol{ b_1 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) の中の線形独立な最大個数は高々 \( r \) である。

問題4-4　ベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) が \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) （ただし \( m \gt n \)）の線形和であるとき、\( \boldsymbol{ b_1 }, \boldsymbol{ b_2 }, \cdots, \boldsymbol{ b_m } \) は線形従属である。

問題4-5　\( n \) 次元のベクトル空間 \( V \) において \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_r } \ ( r \lt m ) \) が線形独立のとき、 \( \boldsymbol{ a_{ r+1 } }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) を選んで \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) が線形独立であるようにすることができる。これを証明せよ。

問題4-6　\( V \) を \( K \) 上の\( n \) 次元のベクトル空間とし、\( K^n \) を \( K \) 上の行ベクトル空間とする。\( V \) の線形独立な生成系 \( \boldsymbol{ a_1 }, \boldsymbol{ a_2 }, \cdots, \boldsymbol{ a_n } \) をとり、\( V \) の任意の要素 \( \boldsymbol{ a } \) を \( \boldsymbol{ a } = a_1 \boldsymbol{ a_1 } + a_2 \boldsymbol{ a_2 } + \cdots + a_n \boldsymbol{ a_n } \) と表わす。このとき、

$$
\varphi : V \to K^n , \qquad \boldsymbol{ a } \to ( a_1, a_2, \cdots, a_n )
$$

とすると、\( \varphi \) は一対一で \( K^n \) の上への写像であり

$$
\varphi ( \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} ) = \varphi ( \boldsymbol{a} ) + \varphi ( \boldsymbol{b} ),
\qquad \varphi ( a \boldsymbol{a} ) = a \varphi ( \boldsymbol{a} )
$$

をみたすことを証明せよ。

線形独立、次元、生成系

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節。

定理2 の証明のあとに「注意」として、n次元ベクトル空間の n個の線形独立なベクトル a₁, a₂, …, a_n は一組の生成系であることが示されている。その説明が以下である。

まず、任意のベクトル a に対して n次元空間の n＋1個のベクトル a, a₁, a₂, …, a_n は線形従属であり、その従属性を示す式において a の係数は 0 でない。そこでこれを a について解くことにより、a, a₁, a₂, …, a_n の線形和として表わされ a₁, a₂, …, a_n が生成系であることがわかる。

本文では次に、部分空間の説明に入るが、線形独立や次元について確認のために、ここで節末問題の4-1、2を取り上げておこう。解答は省略する。

問題4-1
(1) a₁, a₂, …, a_n が線形独立であるための必要十分条件は、このうちどれをとっても他の線形和に等しくないことである。
(2) a₁, a₂, …, a_n が線形従属であるための必要十分条件は、このうちの適当な１つが他の線形和に等しいことである。
これを証明せよ。

問題4-2
n次元ベクトル空間V において、次の(1), (2)は同値であることを示せ。
(1) a₁, a₂, …, a_n は線形独立である。
(2) a₁, a₂, …, a_n は V の生成系である。

ここまでをまとめる（箇条書き）と、次のようになる。

体K 上のベクトル空間V において、

ベクトル a₁, a₂, …, a_n が線形独立であるとは、

• x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0　⇔　x₁＝0 ∧ x₂＝0 ∧ … ∧ x_n＝0
• a₁, a₂, …, a_n のうちどれをとっても他の線形和に等しくない

ベクトル a₁, a₂, …, a_n が線形従属であるとは、

• x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0 で、x₁, x₂, …, x_n のうちの少なくとも1つは 0 でないような K の要素 x₁, x₂, …, x_n が存在する
• a₁, a₂, …, a_n のうちの適当な１つが他の線形和に等しい

V の中で線形独立なベクトルの最大個数を、体K 上のベクトル空間V の次元という。

• V の中に任意個数の線形独立なベクトルが存在するならば次元は無限大である。
• V の中に n個の線形独立なベクトルが存在し、n個より多くのベクトルは必ず線形従属になっているとき、V の次元は n である。

V の要素の列 a₁, a₂, …, a_m が V の生成系であるとは、

• V の任意の要素 a が K の適当な要素 a_i, i＝1, 2, …, m を用いて a₁, a₂, …, a_m の線型和 a＝Σ [i=1..m] a_ia_i で表わすことができる

V が一組の生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数が V の次元である。

n次元ベクトル空間V において、
a₁, a₂, …, a_n は線形独立である　⇔　a₁, a₂, …, a_n は V の生成系である

【定理2】（ベクトル空間の次元）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節「ベクトルの従属性、独立性」の続き。定理2 と、その証明。

定理2
V が一組の生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数が V の次元である。

丁寧に読まなければわからなかったので、証明を引用し、それについての自分なりの解説的なコメントをつけてみる。証明は次からはじまる。

a_i がすべて 0 ならば、V は零ベクトルだけからなる。1・0＝0 であるから、零ベクトルは線形従属である。よって V の次元も、a_i の中の線形独立な最大個数もともに 0 である。

線形従属であるとは、x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0 で、x₁, x₂, …, x_n のうちの少なくとも1つは 0 でないような K の要素 x₁, x₂, …, x_n が存在することをいう。零ベクトルに関しては 1・0＝0 が成り立ち、0 でない K の要素（ここでは 1）が存在している。したがって零ベクトルは線形従属であり、V の次元も、a_i の中の線形独立な最大個数もともに 0 である。

これに対して生成系 a₁, a₂, …, a_m の中の線形独立なベクトルの最大個数が r であるとする。このとき番号をつけかえて、a₁, a₂, …, a_r が線形独立であるようにできる。r＜m のときは r は線形独立な a_i の最大個数であるから、r＋1個のベクトル a₁, a₂, …, a_r, a_i (r＜i≦m) は線形従属であり、したがって次の関係がある。

a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0

ここで、係数の中には 0 でないものが存在する。もし b＝0 であれば、a₁, a₂, …, a_r が線形従属であることになってしまう。そこで b≠0 であり

a_i＝－b^-1(a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r)

a₁, a₂, …, a_r が線形独立であるので、a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＝0 の係数は 0 である。a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＝0 の係数が 0 であり、a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0 の係数の中には 0 でないものが存在するので、b≠0 となる。a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0 を式変形して a_i＝－b^-1(a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r) を得る。

よって、V の要素を生成系 a₁, a₂, …, a_m の線形和で表した式は、各 a_i をこの式でおきかえることによって a₁, a₂, …, a_r の線形和でおきかえることができる。そこで、a₁, a₂, …, a_r だけで一組の生成系となることがわかる。

V の要素の列 a₁, a₂, …, a_m が V の生成系であるとは、V の任意の要素 a が K の適当な要素 a_i, i＝1, 2, …, m を用いて a₁, a₂, …, a_m の線型和 a＝Σ [i=1..m] a_ia_i とできることをいう。ここでは、V の任意の要素が、a₁, a₂, …, a_r の線形和で表すことができるので、a₁, a₂, …, a_r だけで V の生成系となれる。

いま b₁, b₂, …, b_t (t＞r) を V の任意のベクトルとする。すると

b_j＝Σ[i=1..r]a_ija_i

のような a_ij が存在する。ここで、ベクトル b₁, b₂, …, b_t が線形従属であること、すなわち

x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0

となる非自明な x_i が K の中に存在することを証明すればよい。

V の任意のベクトルを b₁, b₂, …, b_t として、生成系である a₁, a₂, …, a_r の線形和で表したものが b_j＝Σ[i=1..r]a_ija_i である。a₁, a₂, …, a_r が V の生成系であることから、V の任意の要素を a₁, a₂, …, a_r の線形和で表すことができる。

いま証明したいことは、「V が一組の生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数が V の次元である」ことである。生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数を r としているので、V の次元が r であるといいたい。a₁, a₂, …, a_r が生成系であることが判明しているので、あとはこれが最大個数かどうかを調べる必要がある。そのため、t＞r として任意のベクトルを線型和で表し、それが線型従属であることがわかれば、a₁, a₂, …, a_r、つまり r 個のベクトルが線型独立で最大個数となる。ベクトル b₁, b₂, …, b_t が線型従属であることを証明するために、x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0 となる非自明な x_i が K の中に存在することを証明する。

それには、この式で b_j を Σ[i=1..r]a_ija_i でおきかえると a_i の線形和が得られ、a_i の係数は Σ[j=1..t]x_ja_ij となるので

Σ[j=1..t]x_ja_ij＝0,　　i＝1, 2, …, r

となる非自明な x_j が存在すればよい。ところが t＞r であるから、定理1 によってそのような x_j の存在することが保証される。

x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0 の式の b_j を Σ[i=1..r]a_ija_i でおきかえると

（左辺）
＝x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t
＝x₁(Σ[i=1..r]a_i1a_i)＋x₂(Σ[i=1..r]a_i2a_i)＋…＋x_t(Σ[i=1..r]a_ita_i)
＝x₁(a₁₁a₁＋a₂₁a₂＋…＋a_r1a_r)＋x₂(a₁₂a₁＋a₂₂a₂＋…＋a_r2a_r)＋…
　＋x_t(a_1ta₁＋a_2ta₂＋…＋a_rta_r)

となり、a_i の係数は Σ[j=1..t]x_ja_ij となる。そこで、

Σ[j=1..t]x_ja_ij＝0,　　i＝1, 2, …, r

となる非自明な x_j が存在すればよく、t＞r より x_j の存在することが保証される。

定理1 とは「未知数の個数n が方程式の個数m をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ」というもので、ここでは、未知数の個数が t 、方程式の個数が r であり、t＞r であるため非自明な解が存在する。非自明な解が存在するということは、x₁, x₂, …, x_t のうちの１つは 0 でない要素が存在する。つまり、ベクトルb₁, b₂, …, b_t が線型従属であることが示され、生成系 a₁, a₂, …, a_r は最大個数である r個のベクトルをもつ線型独立であることが示される。

以上のようにして r個より多い個数のベクトルは線形従属であるが、r個のベクトル a₁, a₂, …, a_r は線形独立であるから、V の次元は r である。

ベクトルの従属性、独立性

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節に進む。第４節は「ベクトルの従属性、独立性」。内容は、線形従属・線形独立の説明、次元の定義、行列の階数など。わかっているのか、わかっていないのか、曖昧なところ。

まずは、線形従属・線形独立から。

体K 上のベクトル空間V において、ベクトル a₁, a₂, …, a_n が線形従属であるとは、x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0 で、x₁, x₂, …, x_n のうちの少なくとも1つは 0 でないような K の要素 x₁, x₂, …, x_n が存在することをいう。そうでないとき a₁, a₂, …, a_n を線形独立という。

線形従属の説明を主としていたので、最初わかりにくく感じる。線形独立を主とした説明の方に慣れていたためであろう。たとえば次のようなものだ（結城浩『数学ガール／ガロア理論』より。ひとつ目の方は2次元での説明。）。

線型独立
V を《S 上の線型空間》として、v, w∈V および s, t∈S とする。
以下の条件が成り立つとき、ベクトルv とw は線型独立であるという。

sv＋tw＝0　⇔　s＝0 ∧ t＝0

線型独立ではないとき、ベクトルv とw は線型従属であるという。
線型独立は一次独立、線型従属は一次従属ともいう。

線型独立（一般化）
V を《S 上の線型空間》として、v_k∈V および s_k∈S とする（k＝1, 2, 3, …, m）。以下が成り立つとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型独立であるという。

s₁v₁＋s₂v₂＋…＋s_mv_m＝0　⇔　s₁＝0 ∧ s₂＝0 ∧ … ∧ s_m＝0

成り立たないとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型従属であるという。

『数学ガール／ガロア理論』での書き方で、『ガロア理論入門』での内容を書くと、次のようになる。

線型従属
V を《S 上の線型空間》として、v_k∈V および s_k∈S とする（k＝1, 2, 3, …, m）。以下が成り立つとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型従属であるという。

s₁v₁＋s₂v₂＋…＋s_mv_m＝0　⇔　s₁≠0 ∨ s₂≠0 ∨ … ∨ s_m≠0

成り立たないとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型独立であるという。

覚えるには線型独立を主として覚えた方がわかりやすいが、使うにはどちらも理解しておいたほうがいい。

2次元での線型独立については、テストや試験によく出ていたように思う。『数学ガール／ガロア理論』での例を見てそう思った。

V を S 上の線型空間と見なすとき、ベクトルv とw が線型独立であることは次のようにして表せる。

sv＋tw＝0　⇔　s＝0 ∧ t＝0　（s, t∈S）

座標空間を R 上の線型空間と見なすとき、ベクトルe→_x と e_y→ が線型独立であることは次のようにして表せる。

a_xe_x→＋a_ye_y→＝0　⇔　a_x＝0 ∧ a_y＝0　（a_x, a_y∈R）

C を R 上の線型空間と見なすとき、線型独立の条件は、実数と複素数の基本的な命題として登場する。

a＋bi＝0　⇔　a＝0 ∧ b＝0　（a, b∈R）

Q(√2) を Q 上の線型空間と見なすとき、線型独立の条件はこうだ。

p＋q√2＝0　⇔　p＝0 ∧ q＝0　（p, q∈Q）

もちろん（？）僕は、線型空間として意識して使っていたわけではない。ただ、こんなものだとしていただけである。