体の定義

エミール・アルティン『ガロア理論入門』（ちくま学芸文庫）の「第１章　線形代数」は、体についての説明、定義からはじまります。

乗法と加法とよばれる２つの演算が定義されている集合を体という。

――エミール・アルティン『ガロア理論入門』

体の定義に関しては、『数学ガール／フェルマーの最終定理』にまとまっていたので、これと、『ガロア理論入門』での体の説明とを確認しながら読み進めていきたいと思います。

体の定義（体の公理）
以下の公理を満たす集合を体と呼ぶ。

• 演算＋（加法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（0と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• すべての要素について逆元が存在する
• 演算×（乗法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（1と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• 0以外のすべての要素について逆元が存在する
• 演算＋と×に関して――
• すべての要素について分配法則が成り立つ

――結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』

一方、『ガロア理論入門』では、以下のように書かれています。

正確にいえば、体とは、まず加法についてアーベル群をなし、次に零を除いた残りが乗法について群をなし、しかも２つの群演算が分配法則によって結びつけられている集合である。

――エミール・アルティン『ガロア理論入門』

ここでは体について３つのことが書かれています。「加法についてアーベル群をなす」こと、「零を除いた残りが乗法について群をなす」こと、「２つの群演算が分配法則によって結びつけられている」ことの３つです。

群についての定義も『数学ガール／フェルマーの最終定理』から引用しておきます。

群の定義（群の公理）
以下の公理を満たす集合Ｇを群と呼ぶ。

• 演算★について閉じている。
• 任意の元に対して、結合法則が成り立つ。
• 単位元が存在する。
• 任意の元に対して、その元に対する逆元が存在する。

――結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』

そして、任意の元について交換法則を満たす群がアーベル群です。可換群ともいいます。アーベルは数学者の名前です。

『ガロア理論入門』での記述と、『数学ガール／フェルマーの最終定理』での記述はほぼ同じ内容を指しています（定義ですので当然といえば当然です）。１点違っているのは、『ガロア理論入門』の方では、乗法についての可換性（交換法則）を仮定していないことです。乗法について可換であるような体を可換体といい、乗法についての可換性がなりたたない体を斜体としています。

以上が体についての定義ですが、定義だけではイメージしにくいので、体の具体例を見ていきたいと思います。