チルンハウス変換

結城浩『数学ガール／ガロア理論』のなかで、3次方程式の解の公式を求めていくところがある。その最初に一般的な3次方程式を簡単なかたちに変換する方法として、チルンハウス変換というものが載っていた。

1変数の3次方程式は一般的に次のように書ける。

$$
a y^3 + b y^2 + c y + d = 0 \qquad ( a \neq 0 )
$$

これに、\( y = x - \frac { b }{ 3a } \) を代入して整理すると、

$$
\begin{eqnarray}
a \left( x - \frac { b }{ 3a } \right) ^3 + b \left( x - \frac { b }{ 3a } \right) ^2 + c \left( x - \frac { b }{ 3a } \right) + d &=& 0 \\
x^3 - \frac { b^2 - 3ac } { 3a^2 } x + \frac { 2b^2 -9abc + 27a^2d } { 27a^3 } &=& 0
\end{eqnarray}
$$

\( p = - \frac { b^2 - 3ac } { 3a^2 }, \ q = \frac { 2b^2 -9abc + 27a^2d } { 27a^3 } \) とおくと、

$$
x^3 + p x + q = 0
$$

と表せる。こちらの3次方程式は変数の2次の項がない。

\( y = x - \frac { b }{ 3a } \) と \( p = - \frac { b^2 - 3ac } { 3a^2 }, \ q = \frac { 2b^2 -9abc + 27a^2d } { 27a^3 } \) から、\( x^3 + p x + q = 0 \) を \( a y^3 + b y^2 + c y + d = 0 \) に戻すことができるので、3次方程式を考える場合には、\( x^3 + p x + q = 0 \) を一般形として考えることが多い。

この変換を『数学ガール／ガロア理論』ではチルンハウス変換と呼んでいたが、別の本やWeb記事などでは「フェラーリの方法」とか「立法完成」とも呼ばれていた。

さて、このチルンハウス変換は3次方程式だけではなく、他の次数の方程式でも使えるのだろうか。

たとえば2次方程式で考えてみる。

3次方程式で \( y = x - \frac { b }{ 3a } \) としたならば、2次方程式では \( y = x - \frac { b }{ 2a } \) がよさそうである。2次方程式の一般形を

$$
a y^2 + b y + c = 0 \qquad ( a \neq 0 )
$$

として、\( y = x - \frac { b }{ 2a } \) を代入して整理する。

$$
\begin{eqnarray}
a \left( x - \frac { b }{ 2a } \right) ^2 + b \left( x - \frac { b }{ 2a } \right) + c &=& 0 \\
a \left( x^2 - \frac { b }{ a } x + \frac { b^2 }{ 4a^2 } \right) + b x - \frac { b^2 }{ 2a } x + c &=& 0 \\
a x^2 + \frac { -b^2 + 4ac }{ 4a } &=& 0 \\
x^2 + \frac { -b^2 + 4ac }{ 4a^2 } &=& 0
\end{eqnarray}
$$

1次の項が消えた。そして、馴染みのあるかたちが出てきた。ちょっと逸れるが、このまま \( x \) について解いてみる。

$$
\begin{eqnarray}
x^2 + \frac { -b^2 + 4ac }{ 4a^2 } &=& 0 \\
x^2 &=& \frac { b^2 - 4ac }{ 4a^2 } \\
x &=& \pm \sqrt{ \frac { b^2 - 4ac }{ 4a^2 } } \\
x &=& \frac { \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }} { 2a } \\
\end{eqnarray}
$$

\( y = x - \frac { b }{ 2a } \) から

$$
\begin{eqnarray}
y &=& \frac { \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }} { 2a } - \frac { b }{ 2a } \\
y &=& \frac { - b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac }} { 2a } \\
\end{eqnarray}
$$

と、2次方程式 \( a y^2 + b y + c = 0 \) の解の公式が出てきた。

2次方程式の解の公式を導出する際、普通はチルンハウス変換のような変数変換は行なわない。「平方完成」という操作をする。（「2次方程式の解の導出」参照）。

とすると、3次方程式でもチルンハウス変換ではなく、2次方程式の平方完成に相当するような「立法完成」をやってみてはどうだろうか（計算は面倒くさそうだが）。

とりあえずやってみる。3次方程式を \( a x^3 + b x^2 + c x + d = 0 \ ( a \neq 0 ) \) として、両辺を \( a \) で割った \( x^3 + \frac {b}{a} x^2 + \frac {c}{a} x + \frac {d}{a} = 0 \) から計算してみる。

$$
\begin{eqnarray}
(左辺) &=& x^3 + \frac {b}{a} x^2 + \frac {c}{a} x + \frac {d}{a} \\\\
&=& \left( x + \frac{ b }{ 3a } \right) ^3 - \frac {b}{a} x^2 - \frac { b^2 }{ 3a^2 } x - \frac{ b^3 }{ 27a^3 } + \frac {b}{a} x^2 + \frac {c}{a} x + \frac {d}{a} \\\\
&=& \left( x + \frac{ b }{ 3a } \right) ^3 - \frac { b^2 }{ 3a^2 } x + \frac {c}{a} x - \frac{ b^3 }{ 27a^3 } + \frac {d}{a} \\\\
&=& \left( x + \frac{ b }{ 3a } \right) ^3 - \frac { b^2 -3ac }{ 3a^2 } x - \frac{ b^3 - 27a^2 d}{ 27a^3 }
\end{eqnarray}
$$

2次の項は消え、\( x^3 + p x + q = 0 \) という形式にはなる。が、解の公式の導出がやりやすくなるというようなことはなかった。

話を戻し、チルンハウス変換はどうやら最高次の次の項を消すような変換のことを指すようだ。4次のときにも \( y = x - \frac{b}{4a} \) で変換すると3次の項が消える。確認は面倒なのでしない。Wikipediaで四次方程式の項を見ると、フェラーリの方法の一部として同様の変数変換が行なわれていた。フェラーリは4次方程式の解の公式を導いた人の名前である。チルンハウスも人名。

僕のなかで曖昧だった用語を次のように整理する。
チルンハウス変換：ここでみたような最高次の次の項を消すような変数変換（あるいは式変形）
平方完成：2次の場合のチルンハウス変換、主に式変形
立法完成：3次の場合のチルンハウス変換、主に式変形
フェラーリの方法：フェラーリの4次方程式の解の公式の導出方法

3次方程式の解の公式の導出(1)

2次方程式の解の公式の導出を書いている途中、ブログ内で数式を表示できるようにMathJaxを使用できるようにしてみた。

しかし、スマホ（モバイル）では表示されない。PC上では表示されている。

おそらく、使用しているブログサービス（Blogger）では、PCサイトとモバイルサイトでテーマを別々にしており、今回Mathjax用に埋め込んだスクリプトがPC上でしか動作していないからだと思われる。モバイル用テーマでのカスタマイズが可能であるかどうかはこれから調べるので、しばらくはPCでのブラウザ表示でしか数式は表示されないと思う。

さて、せっかく数式表示をできるようにしたし、前回、2次方程式の解の公式の導出をあげたので、Mathjaxの練習も兼ねて、3次方程式の解の公式の導出をあげてみたいと思う。

3次方程式は一般的に次のように書き表わすことができる。

$$
ay^3 + by^2 + cy + d = 0 \qquad (a \neq 0)
\tag{1}
$$

\(a \neq 0\) であるのは、\(a = 0\) であれば2次方程式となってしまうからである。未知数を \(x\) ではなく \(y\) としているのは、単にこれから変数変換でこの3次方程式を少し簡単な形にしようとしているからである。

早速、変数変換をしていこう。\(y = x - \frac{ b }{ 3a }\) として上記の3次方程式 \((1)\) に代入する。

$$
\begin{align}
(左辺) &= a (x - \frac{ b }{ 3a } )^3 + b(x - \frac{ b }{ 3a } )^2 + c(x - \frac{ b }{ 3a } ) + d \\\\
&= a (x^3 - 3 \cdot \frac{ b }{ 3a } x^2 + 3 \cdot \frac{ b^2 }{ 9a^2 } x - \frac{ b^3 }{ 27a^3 }) \\\\
& \qquad + b (x^2 - 2 \cdot \frac{ b }{ 3a } x + \frac{ b^2 }{ 9a^2 }) + c (x - \frac{ b }{ 3a } ) + d \\\\
&= ax^3 - bx^2 + \frac{ b^2 }{ 3a } x - \frac{ b^3 }{ 27a^2 } + bx^2 - \frac{ 2b^2 }{ 3a } x + \frac{ b^3 }{ 9a^2 } + cx - \frac{ bc }{ 3a } + d \\\\
&= ax^3 + \frac{ b^2 }{ 3a } x - \frac{ 2b^2 }{ 3a } x + cx - \frac{ b^3 }{ 27a^2 } + \frac{ b^3 }{ 9a^2 } - \frac{ bc }{ 3a } + d \\\\
&= ax^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^2 }
\end{align}
$$

つまり、3次方程式 \((1)\) は、

$$
ax^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^2 } = 0
\tag{2}
$$

となる。\(a \neq 0\) なので、3次方程式 \((2)\) の両辺を \(a\) で割って、

$$
x^3 - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } x + \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 } = 0
\tag{2'}
$$

ここで、

$$
p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , \qquad q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }
$$

とすると、3次方程式 \((2')\) は、次のように書ける。

$$
x^3 + px + q = 0
\tag{3}
$$

この3次方程式 \((3)\) の解の公式をつくることができれば、\(y = x - \frac{ b }{ 3a }\) と、\(p = - \frac{ b^2 - 3ac }{ 3a^2 } , q = \frac{ 2b^3 - 9abc + 27a^2d }{ 27a^3 }\) より、3次方程式 \((1)\) の解の公式をつくることができる。

以降、この \((3)\) の解の公式を求めていく。


なお、このように3次方程式（あるいは多項式）の2次の項を消すやり方について、チルンハウス変換とか、立法完成とか、フェラーリの方法とか、いくつかの名前で呼ばれている。おそらくはそれぞれに定義みたいなものがあるのだろうが、確認していない。チルンハウスやフェラーリというのは数学者の名前である。立法完成は名前から3次式でしかいわれないだろう。2次式のときには「平方完成」というのがあった。


【参考】
Mathjaxでの数式表示について、以下のサイトにお世話になった。

Easy Copy Mathjax
物理とか「mathjaxの使い方」