最大公約数・最小公倍数

ツイッターのTL上で見かけた問題。

【問題】 ある整数Aと60の最大公約数は12で最小公倍数は240でした。このときAを求めなさい。less than a minute ago via twittbot.netベネッセ　カタリス
benesse_catalys

答えは、「48」ですが、この問題についてもう少し見てみたいと思います。

まず、最大公約数「12」と最小公倍数「240」をそれぞれ素因数分解します。（イコールの位置をそろえるためにアンダーバーを使用しています。）

_12 = 2 * 2 * 3
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

60も素因数分解してみましょう。

_60 = 2 * 2 * 3 * 5

比べると、

_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ （最大公約数）
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 （最小公倍数）

60と240を比べると「4（=2*2）」が出てくることがわかります。60*4=240です。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」です。

_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ （最大公約数）
_48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 __
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 （最小公倍数）

最大公約数は共通因子をとったもの、最小公倍数は共通因子に共通でない因子をかけたものです。

なんだか、わかりにくい説明ですね。。。申し訳ありません。

同じベネッセカタリスさんから以下のツイートもありました。

【中学受験算数】 2つの整数AとBがあり、その2数の最大公約数をX、最小公倍数をYとすると　A×B＝X×Yが成立する。例）18と24の最大公約数6、最小公倍数72である。18×24＝6×72となる。#sansu #chujuless than a minute ago via twittbot.netベネッセ　カタリス
benesse_catalys

これをさらに発展させると、比の問題としても扱うことができます。
つまり、

A×B＝X×Y　⇒　A : X = Y : B

とすることもできるので、

60と240（最小公倍数）を比べると「4」が出てくる。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」。

ともいえるのです。

【追記】
タイトル他、「最大公倍数」となっていた部分を「最大公約数」に修正しました。