2011/01/10

最大公約数・最小公倍数

ツイッターのTL上で見かけた問題。

【問題】 ある整数Aと60の最大公約数は12で最小公倍数は240でした。このときAを求めなさい。less than a minute ago via twittbot.net



答えは、「48」ですが、この問題についてもう少し見てみたいと思います。

まず、最大公約数「12」と最小公倍数「240」をそれぞれ素因数分解します。(イコールの位置をそろえるためにアンダーバーを使用しています。)
_12 = 2 * 2 * 3
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5
60も素因数分解してみましょう。
_60 = 2 * 2 * 3 * 5
比べると、
_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ (最大公約数)
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 (最小公倍数)

60と240を比べると「4(=2*2)」が出てくることがわかります。60*4=240です。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」です。

_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ (最大公約数)
_48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 __
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 (最小公倍数)

最大公約数は共通因子をとったもの、最小公倍数は共通因子に共通でない因子をかけたものです。

なんだか、わかりにくい説明ですね。。。申し訳ありません。

同じベネッセカタリスさんから以下のツイートもありました。

【中学受験算数】 2つの整数AとBがあり、その2数の最大公約数をX、最小公倍数をYとすると A×B=X×Yが成立する。例)18と24の最大公約数6、最小公倍数72である。18×24=6×72となる。#sansu #chujuless than a minute ago via twittbot.net



これをさらに発展させると、比の問題としても扱うことができます。
つまり、
A×B=X×Y ⇒ A : X = Y : B
とすることもできるので、
60と240(最小公倍数)を比べると「4」が出てくる。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」。
ともいえるのです。

【追記】
タイトル他、「最大公倍数」となっていた部分を「最大公約数」に修正しました。

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