3次方程式の解の公式の導出

3次方程式の解の公式（カルダノの公式）の導出についての覚え書き。（Webでの数式表記を詳しく調べていないので、分数やルートなどの表記部分がわかりにくくなっています。）

3次方程式は一般的に以下のように表される。

ax³ + bx² + cx + d = 0 （a ≠ 0）

変数変換
x = y - b / 3a を代入して、

a(y - b / 3a)³ + b(y - b / 3a)² + c(y - b / 3a) + d = 0

式を整理すると、

y³ - ((b² - 3ac) / 3a²)x + (2b³ - 9abc + 27a²d) / 27a³ = 0

となる。ここで、

p = - (b² - 3ac) / 3a²　　・・・①
q = (2b³ - 9abc + 27a²d) / 27a³　　・・・②

とすると、以下のyに関する3次方程式が得られる。

y³ + py + q = 0　　・・・③

• 変換後の3次方程式の左辺y³ + py + qには、2次の項がない（y²の係数が0）。3次方程式をより簡単な形に変換し、変換後の3次方程式の解を導くことで、変換前の3次方程式の解も導くことができる。
• この変換について、「立体完成」や「チルンハウス変換」「フェラーリの方法」などと呼ばれている。それぞれの変換名の詳細は調べていない。

y = u + vの導入
y = u + vとし、式③に代入する。

(u + v)³ + p(u + v) + q = 0

整理すると、以下になる。

(u³ + v³ + q) + (u + v) (3uv + p) = 0　　・・・④

ここで、以下の連立方程式、

u³ + v³ + q = 0　　・・・⑤
3uv + p = 0　　・・・⑥

を満たすu、vがあれば、y = u + vより、yを求めることができる。

• y = u + vの導入は、唐突な感がある。どのような意図でこのような変換をおこなったのかについては未確認。自分では思いつきそうにない。
• 方程式④から、連立方程式（⑤⑥）を立てることについても思いつきそうにない。
• 連立方程式の表記としては括弧（｛）があったほうがいいが、勉強不足。

連立方程式を解く

u³ + v³ + q = 0　　・・・⑤
3uv + p = 0　　・・・⑥

⑥より、

u= - p/3v

⑤に代入して、

(- p/3v)³ + v³ + q = 0

これを整理すると、

v⁶ + qv³ - (p/3)³ = 0

ここで、V = v³とすると、

V² + qV - (p/3)³ = 0

と、Vに関する2次方程式となる。
2次方程式の解の公式より、

V = - q ± √(q² + 4(p/3)³) = -(q / 2)±√((q/2)² + (p/3)³)
∴ v³ = -(q/2)±√((q/2)² + (p/3)³)

同様に、u³ = -(q/2)±√((q/2)² + (p/3)³)となる。u³とv³は対称であり、また、式⑤よりu³ + v³ = - qであるため、u³とv³の平方根の前にある±の符号は、片方が＋（プラス）であれば、もう片方は－（マイナス）である。よって、

u³ = -(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)
v³ = -(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)

よって、

u = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)}
v = ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

y = u + vより、

y = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)} + ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

• u³から三乗根をとるとき、3つの解が出てくる。三乗すると1となる3つ数を、1, ω, ω²)とすると、uの値は上記の他に、ωを掛けたものと、ω²を掛けたものの2つが存在する。
• WEBでの三乗根の表記のしかたは勉強不足。
• ここに挙げた公式、
  

  y = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)} + ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

  は、式③のかたちの3次方程式についての解の公式であり、3次方程式の一般形についての解の公式ではない。しかし、変数変換で使ったx = y - b/3aや、式①②を使って一般形の解の公式を導くことができる。
  

最近の読書傾向（感想含む）

5月の連休中、愛媛の実家に帰った。現在は名古屋に住んでおり、名古屋から新幹線で岡山まで。岡山で特急に乗り換え、松山・宇和島へと移動する。乗り換えを含めると6時間くらいになる。

帰省のお供として選んだ本は、恩田陸さんの『蜜蜂と遠雷』。恩田さんの作品は、文庫本が出たものを読むようにしている。以前は文庫が出たものすべてを読んでやろうと思っていたのだが、読みきれず積読本が多くなってしまったので、最近は買ったり買わなかったりしていた。『蜜蜂と遠雷』は、承知の通り「直木賞」と「本屋大賞」のW受賞で話題となった本で、読んでみたいと思ったが文庫本が出るのを待っていた本だった。2019年4月に文庫本が出て買ったが、しばらくそのままになっていた。帰省の行き帰りで読むのにちょうどいいかもしれないと思い、この2冊（上巻・下巻）を持って行った。

結果として、行き（帰省の行き）の車内と実家に着いたその夜、そして翌日で一気に読んでしまった。ピアノやクラシック音楽について明るくはないが、クラシックを聞いてみたい、コンクールの観戦もおもしろそうだとも思った。書かれている曲はどれも聞いたことはない（ひょっとするとタイトルを知らないだけで聞いたことはある曲もあるかもしれない）が、音楽が言葉になっていると思った。そして、恩田さんの作家としての創作活動の姿勢が書かれているような気がした。また、言語の問題が書かれているようにも思った。このあたりはまだまとまっていないので、再読する本のひとつになった。

『蜜蜂と遠雷』を一気に読んでしまったので、連休中と帰り（帰省の帰り）に読む本がなくなってしまった。『蜜蜂と遠雷』を再読するという手もあるが、再読はゆっくりちょこちょこと読んでいくのがいいかと思う。

連休中に本屋に行った。森田真生さんが編集した岡潔さんの『数学する人生』の文庫本を見つけ、これにしようと購入した。

数ヶ月前に、（これも積読本であった）森田真生さんの『数学する身体』を読んだところだった。大まかな数学の歴史と数学の身体性について、森田さん自身の経験を踏まえて書かれていた本で、抽象化を極めていくと思っていた数学に新しい視点（失われがちになっていた視点）を持たせてくれた。数学については、少なくともクラシック音楽よりは知っている。とは言っても専門的なところは知らない。ただ、ゲーデルの不完全性定理にはずっと興味を持っているので、その周辺の事柄についてはある程度の知識があった。『数学する身体』での数学史でヒルベルトが出てきた後、いよいよゲーデル登場かと思いきや、チューリングが出てきた。そしてその後、岡潔である。歴史はひとつの線でできているわけではないが、チューリングと岡潔の組み合わせがおもしろい。

岡潔さんについては名前しか知らなかった。数学的業績はもちろん、数学以外の著作があることも知らなかった。正直に言うと、小林秀雄さんとの対談本である『人間の建設』を持ってはいるが、例によって積読本である（積読本がいくつあるんだ……）。森田さんの『数学する身体』で、岡潔さんに興味を持った。

興味を持ったものの、岡潔さんについて、手つかずのままだった。積読本は、恩田陸さんの『蜜蜂と遠雷』をはじめ、まだまだたくさんある。そのうち『人間の建設』に手をつけようと思っていたところ、ゴールデンウィーク中、帰省先の本屋で『数学する人生』に出会ってしまった。そして帰りの車内でのお供となる。（ちなみに電車と書かずに車内と書くのは、宇和島・松山間では列車がまだ電化されていないところがあるため。）

岡潔さんの『数学する人生』を読んで、また追いかけるべき人が増えたと思った。もちろん岡潔さんのことである。数学的業績については難しいだろうが、ものの見方・考え方については外せないような気がする。何をどのように表現しているのか。現在の読書の対象として夏目漱石の諸作品に何かあると思って読んでいるが、岡潔さんにはそこに共通するものがある。

そして先日、本屋に行ったとき、岡潔さんの『春宵十話』『春風夏雨』を見つけた。

何という原理（？）か忘れてしまったが、たとえば「赤い色」と意識して一日を過ごすと、赤い色のものが目に飛び込みやすくなるという。見たいものが見えるということだろう。よく本屋に行くのは、自分がどのような本に魅かれるのかを知りたいためである。自分自身、未だに何をどうしたいのかがわかっておらず、このブログ記事も何となく「書いておいたほうがよさそうだ」と思い書きはじめたため、脈絡のないものとなってしまった感はあるが、一旦書いておくと次につながるような気がしている。

『口遊』の等差数列

下平和夫『日本人の数学　和算』を読んでいると興味をひいた問題がありました。

天禄元年（970年）に編集された『口遊（くちずさみ）』の「竹束篇」として載っている問題です。

以下、『日本人の数学　和算』からの引用。

また「竹束篇」として、竹をたばねる問題がある。このたばね方はまん中を三本とし、次に九本、十五本、二十一本とたばねていく。いちばん外側が二十一本のとき、全部で何本かという問題で、その求め方は、いちばん外側の本数を数え（これをaとする）、これに三を加えて二乗し、十二で割れとしている。

下平和夫『日本人の数学　和算』（講談社学術文庫）p.45

図がある方がわかりやすいと思いますので、ちょっとWEBより拝借。

（『放課後の数学入門』「§２数列」より）

さて、引用内の解法の通りにやってみると、いちばん外側の本数は21本で、これに3を加えて2乗し、12で割れということだから、

(21+3)²/12
=24²/12
=576/12
=48

で、48本となります。

実際に計算すると、まん中を3本とし、次に9本、15本、21本とたばねていくので、

3+9+15+21 = 48

で48本となり、合っています。

ちょっと不思議に思いました。

なぜ3を加えて2乗して12で割ると答えが出てくるのか？

数列の復習とともに考えていきます。

オイラーの公式の証明

昨夜、ツイッター上で@Poyo_Fさんのツイートを見かけました。

「オイラーの公式」の証明についてのツイートです。

夜遅かったので、後でツギャッターにまとめよう思いましたが、今日確認すると既にまとめがありましたので、まずは、こちらを貼り付け。




ところで、「オイラーの公式」について、私は名前だけ知っているという知識…。

「オイラー」も、「オイラーの公式」も、名前だけ知っているという知識です。

あ、『数学ガール』には出てたかも。

そこで、「オイラーの公式」について調べてみました。

そして、上記ツギャッターの「オイラーの公式」の証明を詳しく見ていきたいと思います。

「連続的な世界」と「離散的な世界」

『数学ガール』を読んでいると、次のようなことを著者の結城浩さんが言っているように思えます。

分割数の一般項Pnを求めよ。
求め方は、この本の中に書いてある。

もちろん私の勝手な想像かもしれませんが。

分割数の一般項Pnは、「とんでもない式」ですが、解き方の筋道は『数学ガール』の中に書かれているように思えてなりません。

『数学ガール』の主人公の「僕」は、分割数の一般項Pnを求める方法として、次のような順序で進めようとしました。

1. 分割数の数列に対応する母関数をP(x)とする。
2. 母関数P(x)の《xについて閉じた式》を作ろうとする。
3. 《xについて閉じた式》は作れなかったが、《無限和の無限積》の式を得る。
4. 《無限和の無限積》の式から、《分数の無限積》の式を得る。
5. 母関数P(x)の《分数の無限積》の式を冪級数展開したときのxⁿの係数を見つけようとする。

主人公の「僕」は、このときは、分割数の一般項Pnを求めることができませんでした。

かといって、私ができるとは思いません(^-^;)

なので、視点を変えてみたいと思います。

まだ、着想段階で厳密には考えていないのですが、「連続的な世界」と「離散的な世界」との対応から解けないか、というものです。

分割数試行錯誤

前回記事で、Q5 = 16 の内容から、P5 = 7 の内容を考えてみました。

Q5 = 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

P5 = 4C0 + 4C1/2 + 4C2/3 + 4C3/4 + 4C4
= 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7

そこから、一般化として以下を仮定してみましたが、失敗。

Pn
= n-1C0 + n-1C1/2 + n-1C2/3 + n-1C3/4 + … + n-1Cn/n + n-1Cn-1

上記の式では、P4 = 5 が成り立ちませんでした。

P4 = 3C0 + 3C1/2 + 3C2/3 + 3C3 = 1 + 3/2 + 3/3 +1 = 9/2

今回は、失敗の原因を探ってみたいと思います。

分割数と分断数

ここ数回、自分で勝手に作った分断数について考えてきました。これから話を戻して、「分割数」について考えてみたいと思います。

分割数Pnの一般項は「とんでもない式」（『数学ガール』より）で、私が考えたところでこのような一般化はできないと思いますが、まあ、考えることは自由ということで試行錯誤してみたいと思います。

まずは、分割数と分断数の関係から考えられないか、を見ていきます。

（「まずは」と書きましたが、次があるかどうかは未定です。）

勝手に作った分断数と二項定理の関係

現在考えている問題は、以下のようなものです。

ある自然数 n を自然数の和で表わしていきたい。例えば、「5」ならば、

5=5
5=4+1
5=3+2
5=2+3
5=1+4
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+2
5=1+3+1
5=1+2+2
5=1+1+3
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1

の16通りある。同じ自然数を何回使ってもいいし、順番が違っていてもいい。
このときの16を5の分断数といい、Q5=16と書く。

このときの n の分断数 Qnを求めよ。

「分断数」というのは、「分割数」に対して、私が勝手に名付けた数です。

そして、前回記事にて、Qnについて以下の式を立てました。

Qn = n-1Ｃ0 + n-1Ｃ1 + n-1Ｃ2 + … + n-1Ｃn-1

今回は、この式の展開と、二項定理についてです。

勝手に考えた分断数について

前回記事で、勝手に「分断数」なるものを考えました（「分割数」参照）

この分断数について考えてみたいと思います。

分割とは、（正の）整数を自然数（正の整数）の和で表したものです。同じ自然数を重ねて使ってもいいですが、並べる順番が違っているものは同じ分割と見なされるます。

これに対して、勝手に名付けた「分断」は、（正の）整数を自然数（正の整数）の和で表したもので、同じ自然数を重ねて使ってもいいし、並べる順番が違っていれば異なる分断とします。

5の分割数P5と分断数Q5をそれぞれ具体的にみると、

分割数P5=7
5=5
5=4+1
5=3+2
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

分断数Q5=16
5=5
5=4+1
5=3+2
5=2+3
5=1+4
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+2
5=1+3+1
5=1+2+2
5=1+1+3
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1

となります。

この分断数の一般項Qnを求めてみようという試みです。

何度も書きますが、「分断数」というのは私が勝手に作った用語です。ひょっとしたら、数学で適切な用語があるのかもしれませんが、私は知らないので、とりあえず分断数で進めていきます。

分割数

先日読んだ『数学ガール　ゲーデルの不完全性定理』が面白かったので、結城浩さんの他の「数学ガール」シリーズを読み始めました。

「数学ガール」シリーズは、2011年6月現在、4冊出版されているようです。

1. 『数学ガール』（2007年）
2. 『数学ガール　フェルマーの最終定理』（2008年）
3. 『数学ガール　ゲーデルの不完全性定理』（2009年）
4. 『数学ガール　乱択アルゴリズム』（2011年）

今回読み始めたのは、第1作目の『数学ガール』

そこで、面白そうな問題が出ていたので考えてみたいと思います。

額面が、1円、2円、3円、4円、……になっているコインがあるとする。合計n円を支払うためのコインの組み合わせが何通りあるのかを考えよう。この組み合わせの個数をPnとする（各支払い方法をnの分割と呼び、分割の個数すなわちPnを、nの分割数と呼ぶ）。

たとえば、3円を支払う方法には「3円玉が1枚」「2円玉が1枚と1円玉が1枚」「1円玉が3枚」という3通りがあるため、P3=3である。

問題10-1
P9を求めよ。

問題10-2
P15＜1000は成り立つか。

実際の解法（考え方）は、このブログで数式が表現できない（できるとは思いますが、めんどくさそう…）ため、実際に本でお読みください。特に問題10-2については、私にはまだ上手く説明する力量がありませんし…。

「正直者」と「嘘つき」の問題

引き続き、『数学ガール　ゲーデルの不完全性定理』より。

「正直者は誰？」という問題が載っていました。以下がこの問題です。

正直者は誰？
A₁「ここに、嘘つきは1人いる」
A₂「ここに、嘘つきは2人いる」
A₃「ここに、嘘つきは3人いる」
A₄「ここに、嘘つきは4人いる」
A₅「ここに、嘘つきは5人いる」

ここでの「正直者」は常に本当のことを言い、逆に「嘘つき」は常に嘘をつきます。

この問題での答えは、A₄。
A₄が正直者です。

場合分けして考えてみましょう。

数学的帰納法

久しぶりに『数学ガール』で数学的帰納法のやり方を見ました。

「帰納」とは、ひとつひとつの具体的なことから一般的な原理を引き出すこと。

「帰納」の逆の意味として「演繹」という言葉があり、「演繹」は、一般的な原理からひとつひとつの事柄を推論することです。

「数学的帰納法」は、証明の方法のひとつで、「どんなとき（大体は「任意の自然数」）でも～が成り立つ」ということを証明する方法としてよく使用されます。


数学的帰納法には、2つのステップがあります。

自然数nに関する述語P(n)について、

ステップ(a)：P(1)を証明する
ステップ(b)：どんな自然数kに対してもP(k)が成り立つならば、P(k+1)も成り立つことを証明する

という2つのステップです。

この2つの証明ができれば、自然数nに関する述語P(n)は、どんな自然数でも成り立つことが証明できます。

ネコウサの定理

結城浩『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』からの問題。

帽子は何色？
司会者は、A、B、そしてC（あなた）の三人を座らせた。

司会者「これからみなさんに帽子をかぶせます。かぶせるのは、全部で五個ある帽子のうち三個です。五個の帽子の三個は赤、二個は白です。自分の帽子の色を見ることはできませんが、他人の帽子の色は見えます」

司会者は、三人に帽子をかぶせ、残った二個の帽子を隠した。

司会者「Aさん、あなたの帽子は何色でしょう？」
参加者A「……わかりません」
司会者「Bさん、あなたの帽子は何色でしょう？」
参加者B「……わかりません」

Cであるあなたには、AとBの帽子が見える。両方とも赤だ。

司会者「Cさん、あなたの帽子は何色でしょう？」
参加者C「……」

さあ、Cであるあなたの帽子の色は何色？

まだよくわからない

ご存知の方も多いかもしれませんが、クルト・ゲーデルが「不完全性定理」を証明した論文は「『プリンキピア・マテマティカ』やその関連体系での形式的に決定不可能な命題についてⅠ」というタイトルです。「Ⅰ」とついていますが、「Ⅱ」など、続編はありません。

「不完全性定理」という言葉を耳にしたのは大学生の頃で、その頃からずっとこの証明について理解しようとしているのですが、未だにわかったようなわからないような、という印象です。

学生の頃、言語学を学び始め、そこからちょっと手を伸ばしてヴィトゲンシュタインの「言語哲学」に興味を持ち、そこからゲーデルの「不完全性定理」を知りました。

流れとしては、あまりいい流れではありません。

何しろ、現代数学のことは知らないのですから…。

まあ、きちんと勉強はしていませんが、高校生の頃から数学は嫌いではなかったので、理解することはできるかもということで、ゲーデルの不完全性定理の理解に向かいました。

ですが、まだ「理解できた」とは、自信を持って言えない状況です。

最大公約数・最小公倍数

ツイッターのTL上で見かけた問題。

【問題】 ある整数Aと60の最大公約数は12で最小公倍数は240でした。このときAを求めなさい。less than a minute ago via twittbot.netベネッセ　カタリス
benesse_catalys

答えは、「48」ですが、この問題についてもう少し見てみたいと思います。

まず、最大公約数「12」と最小公倍数「240」をそれぞれ素因数分解します。（イコールの位置をそろえるためにアンダーバーを使用しています。）

_12 = 2 * 2 * 3
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5

60も素因数分解してみましょう。

_60 = 2 * 2 * 3 * 5

比べると、

_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ （最大公約数）
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 （最小公倍数）

60と240を比べると「4（=2*2）」が出てくることがわかります。60*4=240です。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」です。

_12 = 2 * 2 _____ * 3 __ （最大公約数）
_48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 __
_60 = 2 * 2 _____ * 3 * 5
240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 （最小公倍数）

最大公約数は共通因子をとったもの、最小公倍数は共通因子に共通でない因子をかけたものです。

なんだか、わかりにくい説明ですね。。。申し訳ありません。

同じベネッセカタリスさんから以下のツイートもありました。

【中学受験算数】 2つの整数AとBがあり、その2数の最大公約数をX、最小公倍数をYとすると　A×B＝X×Yが成立する。例）18と24の最大公約数6、最小公倍数72である。18×24＝6×72となる。#sansu #chujuless than a minute ago via twittbot.netベネッセ　カタリス
benesse_catalys

これをさらに発展させると、比の問題としても扱うことができます。
つまり、

A×B＝X×Y　⇒　A : X = Y : B

とすることもできるので、

60と240（最小公倍数）を比べると「4」が出てくる。
この「4」を最大公約数「12」にかけた数字が、問題の答えの「48」。

ともいえるのです。

【追記】
タイトル他、「最大公倍数」となっていた部分を「最大公約数」に修正しました。

素数について

自然数の中で、1と自分自身以外の約数を持たないものを「素数」といいます。

例えば、12と13で考えると、12の約数は、1、2、3、4、6、12の6つで、1と12以外にも約数を持つので素数ではありません。13の方は、約数は1、13の２つのみで、13は素数です。

　

全ての自然数は素数の積で表現することができます。

2以上の自然数で20までを表現すると、

2（素数）

3（素数）

4=2×2

5（素数）

6=2×3

7（素数）

8=2×2×2

9=3×3

10=2×5

11（素数）

12=2×2×3

13（素数）

14=2×7

15=3×5

16=2×2×2×2

17（素数）

18=2×3×3

19（素数）

20=2×2×5

…

となります。

このような表記にする方法（？）を「素因数分解」と呼びます。

　

さて、なぜいきなり素数のことを書き始めたかというと、例の５つのビリヤード玉の問題からのためです。

５つのビリヤード玉の問題では、「数を足し合わせて1から21までの数をつくる」ということがありました。

「素因数分解」では数をかけ合せて自然数を表現しているので、足し合わせて表現する方法もないか、と考えたのです。

　

５つのビリヤード玉の問題では、自然数を次のように考えています。

1（分けられない）

2（分けられない）

3=1+2

4=1+3

5=1+4, 2+3

6=1+5, 2+4

7=1+6, 2+5, 3+4

8=1+7, 2+6, 3+5

9=1+8, 2+7, 3+6, 4+5

10=1+9, 2+8, 3+7, 4+6

11=1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6

12=1+11, 2+10, 3+9, 4+8, 5+7

…

上記に挙げたのは２つの異なる自然数に分けたやり方です。

どうやら、自然数nについて、奇数のときは(n-1)/2通り、偶数のときはn/2-1通りあるようです。

　

では、３つの異なる自然数に分けるやり方ではどうでしょうか？

1～5（わけられない）

6=1+2+3

7=1+2+4

8=1+2+5, 1+3+4

9=1+2+6, 1+3+5, 2+3+4

10=1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5

11=1+2+8, 1+3+7, 1+4+6, 2+3+6, 2+4+5

12=1+2+9, 1+3+8, 1+4+7, 1+5+6, 2+3+7, 2+4+6

13=1+2+10, 1+3+9, 1+4+8, 1+5+7, 2+3+8, 2+4+7, 2+5+6, 3+4+5

…

となります。

規則性はありそうですが、一般化して何通りかは確認しておりません(^-^;)

倍数の判定方法

ある数が3の倍数かどうかを判断するときに、各桁の数を合計して3の倍数になるかどうかで判断する、ということを前回の記事で書きました。

では、他の倍数の判定方法は？ということで考えてみました。

ここの記事でなくとも、検索すれば他の誰かがまとめているサイトとかはあるのではないかと思いますが、自分で考えてみることに意義があると考えています（簡単に言えば自己満足です）。

　

ここでは、素数の倍数かどうかを判断するための方法を考えていきます。

　

2の倍数かどうか

これは偶数か奇数かで判断できます。

偶数ならば2の倍数です（逆も然り。定義としては2の倍数を「偶数」と呼んでいるかと）。

で、偶数か奇数かを判断する場合にどこを見るかといえば、1の位の数字が偶数か奇数か、つまり1の位の数字が2の倍数かどうか、です。

　

3の倍数かどうか

これは、前回記事の通り。

各桁の数の合計が3の倍数かどうか。

　

5の倍数かどうか

これは1の位が0か5で判断することが多いですね。

今までの流れで言葉にすると、1の位が5の倍数かどうか、と言えますかね。

（ここで「0」は5の倍数といえるのか、という疑問浮上。

同様に2の倍数のところでも0は偶数に入るか未確認。）

　

7の倍数かどうか

これが（というかここから先が）ちょっと難しい。

試しに3の倍数のときにやってみた方法で考えてみます（3桁の数字で）。

=100a+10b+c

=70a+30a+7b+3b+c

=70a+7b+30a+3b+c

=7(10a+b)+28a+2a+7b-4b+c

=7(10a+b)+7(4a+b)+2a-4b+c

ん～、わからん。

　　

日常生活のなかで、ある数が何かの倍数であるかどうかを確認する必要があるときというのは、パッと思いつく限りでは、分数を約分するときぐらいしか思いつきません。

5まで試して後は根気か(^-^;)

　

【追記】

WEB上で検索したところ、以下のサイトを発見しました。

数学とソフトウェア「倍数の見つけ方」

面白そうなサイトです。

３の倍数かどうか

最近、数学（？）のことを考えることが多くなりました。

もともと数学は嫌いな方ではなく、特に学校で習うことはパズルのような印象があります。

「簡単だ」という意味ではなく、「解き方がわかれば解ける」といった印象で、例えば文章題などで解き方を見つけることは好きでした。

逆に、解き方を見つけた後の計算は嫌いです(^-^;)

そして、数の不思議というか、一見何の関係もなさそうなのに隠れた関係がある、というような事柄は面白いと思います。

　

例えば、

「ある数字の各桁の数の合計が3の倍数ならば、その数字は3の倍数である」

というものがあります。

ある数字が3の倍数かどうかを判定するためによく使うものです。

例えば、「35675241」は3の倍数か？を調べるときに、各桁の数字を合計して、「3+5+6+7+5+2+4+1=33」。「33」は3の倍数なので、「35675241」も3の倍数だ、というように使います。

　

では、なぜ各桁の数字を合計することで3の倍数かどうかわかるのでしょう？

こんなことが私の知りたいことで、面白いと思うことです。

　

方法（証明）はいくつかあるかと思いますが、私の知っている証明は以下です。

　

取り合えず、3桁の数字で考えてみます。

（別に何桁でも方法自体は変わりません。）

ある3桁の数字を「100a+10b+c」とします。100の位の数字がa、10の位の数字がb、1の位の数字がcの3桁の数字です。

これをちょっと工夫すると、

=100a+10b+c

=99a+a+9b+b+c　　　　　←100aを99a+a、10bを9b+bに置き換え

=99a+9b+a+b+c　　　　　←足し算の順番を並び替え

=9(11a+b)+a+b+c

となります。

ここで、9(11a+b)は3の倍数です（9の倍数でもあります）。

残りのa+b+cはいわば「余り」。

このa+b+cが3の倍数ならば、3が取り出せて、割り切れるので、

a+b+cが3の倍数ならば、100a+10b+cも3の倍数であるといえます。

また、ここから考えると、a+b+cが9の倍数ならば、100a+10b+cは9の倍数であるともいえます。

９の倍数になるのはなぜ？

@yousuke_takaoka さんからの問題（もとはこちら）

えっと。好きな数を三つ。例えば３，４，５。これをそれぞれ３倍します。９，１２，１５。このなかの二桁の数を一桁にします。９，１，２，１，５。冒頭と同じようにそれぞれ３倍します。２７，３，６，３，１５。またこれを一桁にします。２，７，３，６，３，１，５。この七つの数字のうち一個隠します。仮に最初の２を隠します。のこりの六つの数字を足します。7+3+6+3+1+5=25。出た答えの25より大きい9の倍数で最も小さな数を　んと　この場合はたぶん27です。この27から先ほどの六つの数字を足した数25を引くと２です。隠した数字を観なくても当てることができるという数学でした。

２以外を隠した場合もやってみます。真ん中の６を隠します。 2+7+3+3+1+5=21。 21より大きい9の倍数で最も小さな数は27です。 27から21を引くと６なのでこれも隠れた数を当てることができます。

これが、どうしてこうなるのか？というものです。

　

整理しながら、順番に書いてみましょう。

例を用いて書くと、

｛３、４、５｝　

　　↓　それぞれを３倍する

｛９、１２、１５｝

　　↓　２桁の数を１桁ずつにわける

｛９、１、２、１、５｝

　　↓　それぞれを３倍する

｛２７、３、６、３、１５｝

　　↓　２桁の数を１桁ずつにわける

｛２、７、３、６、３、１、５｝　

　

ここで出てきた数字をすべて足すと９の倍数となる、というのが問題の内容です。

２＋７＋３＋６＋３＋１＋５＝２７（＝９×３）

　

複雑になるので、１つの数字で考えてみましょう。

　

ある数字を x とします。

（xは１～９の自然数とします。実は自然数ならなんでもいいのですが、３倍したとき３桁以上になるとごちゃごちゃするので、、、）

まずは３倍するので、3x となります。

で、２桁だったら１桁ずつの数字に分けます。

わからないので、適当に 「 3x ⇒ p と q 」に分けましょう。

つまり　3x=10p+q です。

　

そして今度は、p、q をさらに３倍します。

すると、3p、3q が出てきます。

これもどんな数字になるかわかりませんので、適当に「 3p=10a+b 」「3q=10c+d 」とします。

　

では、a+b+c+d が９の倍数になるかどうか、ですが、ちょっと式を変換してみます。

=a+b+c+d

=(10-9)a+b+(10-9)c+d

=10a-9a+b+10c-9c+d

=10a+b+10c+d-9a-9c

=3p+3q-9a-9c　　　←10a+b=3p、10c+d=3q だから

=(30-27)p+3q-9a-9c

=30p-27p+3q-9a-9c

=3(10p+q)-27p-9a-9c

=3・3x-27p-9a-9c　　　←10p+q=3x だから

=9x-27p-9a-9c

=9(x-3p-a-c)

となって、a+b+c+d は９の倍数であることがわかります。

　

「わかりやすく」には程遠いですね(^-^;)