ベクトルの従属性、独立性

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節に進む。第４節は「ベクトルの従属性、独立性」。内容は、線形従属・線形独立の説明、次元の定義、行列の階数など。わかっているのか、わかっていないのか、曖昧なところ。

まずは、線形従属・線形独立から。

体K 上のベクトル空間V において、ベクトル a₁, a₂, …, a_n が線形従属であるとは、x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0 で、x₁, x₂, …, x_n のうちの少なくとも1つは 0 でないような K の要素 x₁, x₂, …, x_n が存在することをいう。そうでないとき a₁, a₂, …, a_n を線形独立という。

線形従属の説明を主としていたので、最初わかりにくく感じる。線形独立を主とした説明の方に慣れていたためであろう。たとえば次のようなものだ（結城浩『数学ガール／ガロア理論』より。ひとつ目の方は2次元での説明。）。

線型独立
V を《S 上の線型空間》として、v, w∈V および s, t∈S とする。
以下の条件が成り立つとき、ベクトルv とw は線型独立であるという。

sv＋tw＝0　⇔　s＝0 ∧ t＝0

線型独立ではないとき、ベクトルv とw は線型従属であるという。
線型独立は一次独立、線型従属は一次従属ともいう。

線型独立（一般化）
V を《S 上の線型空間》として、v_k∈V および s_k∈S とする（k＝1, 2, 3, …, m）。以下が成り立つとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型独立であるという。

s₁v₁＋s₂v₂＋…＋s_mv_m＝0　⇔　s₁＝0 ∧ s₂＝0 ∧ … ∧ s_m＝0

成り立たないとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型従属であるという。

『数学ガール／ガロア理論』での書き方で、『ガロア理論入門』での内容を書くと、次のようになる。

線型従属
V を《S 上の線型空間》として、v_k∈V および s_k∈S とする（k＝1, 2, 3, …, m）。以下が成り立つとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型従属であるという。

s₁v₁＋s₂v₂＋…＋s_mv_m＝0　⇔　s₁≠0 ∨ s₂≠0 ∨ … ∨ s_m≠0

成り立たないとき、ベクトル v₁, v₂, …, v_m は線型独立であるという。

覚えるには線型独立を主として覚えた方がわかりやすいが、使うにはどちらも理解しておいたほうがいい。

2次元での線型独立については、テストや試験によく出ていたように思う。『数学ガール／ガロア理論』での例を見てそう思った。

V を S 上の線型空間と見なすとき、ベクトルv とw が線型独立であることは次のようにして表せる。

sv＋tw＝0　⇔　s＝0 ∧ t＝0　（s, t∈S）

座標空間を R 上の線型空間と見なすとき、ベクトルe→_x と e_y→ が線型独立であることは次のようにして表せる。

a_xe_x→＋a_ye_y→＝0　⇔　a_x＝0 ∧ a_y＝0　（a_x, a_y∈R）

C を R 上の線型空間と見なすとき、線型独立の条件は、実数と複素数の基本的な命題として登場する。

a＋bi＝0　⇔　a＝0 ∧ b＝0　（a, b∈R）

Q(√2) を Q 上の線型空間と見なすとき、線型独立の条件はこうだ。

p＋q√2＝0　⇔　p＝0 ∧ q＝0　（p, q∈Q）

もちろん（？）僕は、線型空間として意識して使っていたわけではない。ただ、こんなものだとしていただけである。