有理数体

体の具体例としては、有理数体がイメージしやすいかと思っています。有理数体とは、有理数全体の集合です。有理数全体の集合は、体の定義に当てはまるので有理数体といいます。

体の定義をあらためて確認しておきます。以下の定義を含め引用部分は、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』からの引用です。

体の定義（体の公理）
以下の公理を満たす集合を体と呼ぶ。

• 演算＋（加法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（0と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• すべての要素について逆元が存在する
• 演算×（乗法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（1と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• 0以外のすべての要素について逆元が存在する
• 演算＋と×に関して――
• すべての要素について分配法則が成り立つ

有理数全体の集合は、この体の定義を満たしていることを確認しましょう。

演算＋（加法）・演算×（乗法）に関して閉じている
「閉じている」というのは、次のようなことをいいます。

演算の定義（演算に関して閉じている）
集合Ｇが演算★に関して閉じているとは、集合Ｇの任意の要素a, bに関して、以下が成り立つこと。

a★b∈Ｇ

有理数全体の集合における加法・乗法についていうと、有理数同士で足し算や掛け算をすると、その計算結果（演算の結果）は有理数となり、有理数全体の集合の要素となります。どのような有理数を足し算しても、掛け算しても、やはり有理数です。

単位元が存在する
集合の要素のことを元といいます。単位元とは以下のものを指します。

単位元の定義（単位元eの公理）
集合Ｇの任意の要素aに対して、以下の式を満たす集合Ｇの要素eを、演算★における単位元と呼ぶ。

a★e＝e★a＝a

有理数体では、演算＋（加法）における単位元は0になります。任意の有理数に0を足しても、逆に、0に任意の有理数を足しても、演算結果はその任意の有理数のままです。0は有理数の集合の要素ですので、有理数全体の集合の中に、加法における単位元0が存在するといえます。

乗法における単位元は1となります。任意の有理数に1を掛けても、1に任意の有理数を掛けても、演算結果はその任意の有理数のまま。乗法については、1という単位元が存在します。

結合法則が成り立つ
結合法則は、演算の順序を変えてもいいという法則です。

結合法則

（a★b）★c＝a★（b★c）

加法や乗法の記号を使って書くと、（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）、（a×b）×c＝a×（b×c）です。有理数での加法、乗法では結合法則が満たされています。

交換法則が成り立つ
交換法則は、演算の右と左を入れ換えてもいいという法則。

交換法則

a★b＝b★a

加法ではa＋b＝b＋a、乗法ではa×b＝b×aです。足し算や掛け算に慣れていると、足し算、掛け算では当たり前のことのように思いますが、算数の計算では「このようにしましょう」と決めて（定義して）計算しています。有理数での足し算や掛け算でも交換法則を満たしています。

『数学ガール／フェルマーの最終定理』では、加法・乗法の両方の演算についての交換法則を定義に含めていますが、『ガロア理論入門』では、乗法に関する交換法則は、一般の体の定義には含めていません。『ガロア理論入門』では、乗法における交換法則（換えることができるという意味で、可換性ともいいます）を満たす体のことを可換体と呼んでいます。

逆元が存在する
逆元とは次のことです。

逆元の定義（逆元の公理）
aを集合Ｇの要素とし、eを単位元とする。aに対して、以下の式を満たすb∈Ｇを、演算★に関するaの逆元と呼ぶ。

a★b＝b★a＝e

有理数でいえば、たとえば2について、演算＋に関する2の逆元は-2です。2＋(-2)＝(-2)＋2＝0のように、足して0（加法における単位元）になるもの。演算×に関しては、2の逆元は1/2です。2×(1/2)＝(1/2)×2＝1で、乗法における単位元1となる逆元が存在します。ただし、乗法に関しては、0以外の要素という条件がついています。0にどのような有理数を掛けても1となることはありません。

演算＋と×に関して分配法則が成り立つ
分配法則は以下のようなものです。

分配法則

(a＋b)×c＝(a×c)＋(b×c)

２つの演算を結びつけている法則です。数学の授業での式の展開を思い出します。もちろん、有理数の演算＋と×に関しても分配法則は成り立っています。

以上のように、有理数全体の集合は、体の定義を満たしているので、有理数体と呼ぶことができます。ちなみに、実数全体の集合や複素数全体の集合も体となります。

しかし、整数全体の集合は体とはなりません。整数全体の集合では、乗法に関する逆元が存在するとは限らないためです。有理数では、乗法に関して、たとえば2の逆元は1/2でした。1/2は有理数ですので有理数の集合の要素です。しかし整数の集合に1/2は存在しません。そのため体の定義からは外れています。整数全体の集合のように、体の定義から「乗法に関して0以外のすべての要素について逆元が存在する」という公理を外した集合には環という名前がついています（整数全体の集合は、整数環と呼ばれます）。