【定理3・4】行列の階数

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第1章第4節の続き。

まずは、定理3について。

定理3　体Kの要素のn個の組全体がつくる行（あるいは列）ベクトル空間Kⁿは、K上の次元nのベクトル空間である。

証明は省略。

続いて、行列と階数についての定義。

体Kの要素を次のように長方形状に並べたものを行列という。
（行列の図略）
1つの行列において、この行列を構成する行ベクトル（a_i1, a_i2, …, a_in）の中で線形独立なものの最大個数を左行階数という。ただし、行ベクトルに対する体の要素の積を左側から行なうものとする。これを右側から行なうものとするとき、右行階数を定義できるし、同様に左、右の列階数を定義することができる。

定理4　任意の行列において、右列階数は左行階数に等しく、左列階数は右行階数に等しい。体が可換のときは、4つの数は互いに等しく、これをこの行列の階数と名づける。

このあと、定理4の証明が続いているが、ここには書かない。

行列については、あまり理解していない。

少し先の第6節では行列式を取り扱っているが、「ここで述べる行列式の理論は、ガロアの理論の中では必要ではない。この部分を省略して先へ進んでも構わない」とあるので、いまのところ、行列に関することは定義と定理を確認するにとどめておく。