「余り」の話

mod についてまとめておこう。

と思ったが、ここでは脱線した内容で終えている。

mod などと書いているが、簡単にいうと「余り」である。小学校の算数・割り算での「７÷３＝２…１（７割る３は２、余り１）」の「余り」である。少し難しくいうと「剰余」という。小数や分数などを学び、「余り」を意識して使うことはあまりない（と言ってみたかっただけです）。

「余り」自体を意識することはあまりないが、「剰余による分類」は無意識のうちに使っている。たとえば奇数と偶数。奇数は２で割って１余る数で、偶数は２で割り切れる数。余りの数で奇数と偶数に分類している。またたとえばワークショップなどで３つのグループに分けるときに「こっちから、１・２・３、１・２・３と番号を言ってください」と言って、１のグループと２のグループと３のグループに分けたりする。これも考えようによっては「剰余（余り）による分類」である（ただし、３で割って余り３とは言えないので少し修正は必要だが）。他にも、時間（15時を3時と言ったりする）や、数字でない例を挙げると、曜日なども「剰余による分類」と考えることができる。

今日は2019年11月7日で木曜日だが、7日後の11月14日も木曜日である。11月1日が金曜日であるため、金曜日を「1」として、「金＝1、土＝2、日＝3、月＝4、火＝5、水＝6、木＝0」とすると、11月の何日かがわかれば、7で割って余りを調べることで、何曜日なのかがわかる。たとえば、（2019年11月）20日ならば、「20÷7＝2…6」となるので水曜日である。

このとき、20÷7の答え（商という）にはあまり注目していない。商ではなく、余りに注目した演算が mod である。

割られる数を a、割る数を b、商を q、余りを r として数式を書くと、

a = bq + r (0≦r＜b)

となる（a, b, q, r は自然数または 0 とする）。r は余りなので、0≦r＜b という条件がついている。「20÷7＝1…13」のように、余り（r）が割る数（b）より大きくなってはいけない。

ちょっと思い出したが、ガロア理論を勉強している本のひとつ、中村享『ガロアの群論』の一番最初に、一次方程式の話への導入で「盗人算」の紹介があった。吉田光由の『塵劫記』（江戸時代の算数の本）に載っている次のような問題だ。

　盗賊団の会話が、橋の下から聞こえる。盗んできた反物を分配しようとしているようだ。「７反ずつ分けると８反余るし、８反ずつ分けると７反足りない。どうしたものかなあ」
さて、盗賊は何人で、反物は何反あるか。

『塵劫記』では答えとして、「盗賊は８足す７で15人、反物は15人掛ける８反に７反足りないから113反」としか載っていない。盗賊の人数を x として、方程式を立てて――と話が続く。そして『塵劫記』には（盗人算として）これ１問しか出ていないので、「盗賊の人数や盗品の数が違っても、読者は解けたのだろうか？」として、数字を変えた盗人算の例を挙げる。

　盗賊団の会話が、橋の下から聞こえる。盗んできた反物を分配しようとしているようだ。「７反ずつ分けると６反余るし、９反ずつ分けると４反足りない。どうしたものかなあ」
さて、盗賊は何人で、反物は何反あるか。

そして方程式を立てて、盗賊の人数は５人、反物は41反という答えを出す。

簡単な方程式でもあり、答えや解き方などに疑問点はないのだが、ただ１点だけ気になるところがある。それは、問題文の「７反ずつ分けると６反余る」というのはおかしいのでは？ということだ。盗賊の人数が５人なら、７反ずつ分けて６反余らせるのではなく、「８反ずつ分けて１反余る」としたほうがいいんじゃないかと思う。

これでは、「余談」である。お後がよろしいようで。
（mod についてのまとめは、また後日。）


あ、『ガロアの群論』自体は、（まだしっかりと理解できていないところもありますが、）ガロアの考えたことを丁寧にたどって、方程式が解ける条件を解説したいい本です。