問題1-4
有限個の要素からなる体を有限体という。有限体Ｋがｑ個の要素をもてば、Ｋの任意の要素ｘはｘq＝ｘを満たすことを証明せよ（実は有限体はすべて可換であることが証明される）。
（解答）前回、問題文中にあるｘq＝ｘというのはフェルマーの小定理のことではないか、ということを書きました。
０を除くｑ－１個の要素は乗法に関して位数がｑ－１の群をつくる。よってｘ≠０のときｘq-1＝１。よってｘq＝ｘ。ｘ＝０もこれを満たす。
フェルマーの小定理前回の例で挙げていたのは有限体Ｆp（＝素数 p を法とする剰余環 Z/pZ）で、乗法の演算として mod を使ったものでしたので、フェルマーの小定理が出てきてもおかしくはありません。
p が素数，a が任意の自然数のとき
ap ≡ a mod p
特に p が素数で，a が p と互いに素な自然数のとき
ap−1 ≡ 1 mod p
次なる疑問は、有限個の要素からなる体であれば、その有限体は、素数 p を法とする剰余環であるかどうかです。
そこで思い出されるのが、問題1-3です。
問題1-3
p を素数とし、
Zp＝ {0, 1, 2, …, p-1}とする。a∈Zp、b∈Zp のとき、a⊕b、a○b をそれぞれ a+b、ab を p で割ったときの余り、と定める。すると集合 Zp は演算⊕、○のもとで可換体であることを示せ。
（解答）集合 Zp が、p が素数であるときには、演算⊕、○のもとで可換体である、ということが問題となっています。
体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。a≠0 のとき a○b＝1 となる b の存在を示す。a は 1, 2, …, p-1 のどれかであるから、p と互いに素である。よって ax＋py＝1 となるような整数ｘ, ｙが存在する。このとき x＝pq＋r (0≦r＜p) のような q, r をとると、
apq + ar + py = 1 ∴ar = p (- aq - y) + 1よって ar を p で割った余りは 1 であり、r∈Zp であるから a○r＝1。この r を b にとればよい。
仮に、素数でない数（たとえば 4）で見てみましょう。Z4＝｛0, 1, 2, 3｝を考えます。
Z4における、a⊕b、a○b の演算表は以下のようになります（演算表では⊕、○ではなく、＋、✕と書いています）。
注目してほしいのは、乗法の演算表で、掛け算の九九での言い方を借りると、2 の段のところです（黄色で目立たせています）。以前、有限体Ｆ2、Ｆ3、Ｆ5、Ｆ7の演算表を挙げましたが、それらの演算表と比べてみるとわかりやすいかもしれません。
集合 Z4 の要素である 2 を使った掛け算（mod）の演算結果は、0 と 2 だけで、1 と 3 は現れません。
2✕0＝0 ⇒ 4 で割った余りは 0特に 1 が現れないというのが重要で、1 が現れないということは、2 に対する逆元が存在しないということになります。つまり、集合 Z4 は体の定義から外れる、体ではないということになります。
2✕1＝2 ⇒ 4 で割った余りは 2
2✕2＝4 ⇒ 4 で割った余りは 0
2✕3＝6 ⇒ 4 で割った余りは 2
0 と 正の整数全体からなる集合をＺとすると、集合Ｚの要素の数は無限になります。問題1-3における集合 Zp は、集合Ｚに p-1 という上限（この言い方が適切かどうかはわかりません）をつけて有限とした集合です。このとき、p が素数であるときに、mod での加法・乗法に関して Zp は体（可換体）と見なすことができます。
集合Ｚ自体も、逆元をもたないため、体とは言えません。しかし、p-1 という上限をつけて有限とし（これはつまり、要素数を p 個としたということです）、演算を mod p での加法・乗法とすると、問題1-3の解答にあるように、p が素数であるときの集合 Zp の（0を除く）全ての要素が逆元を持ち、体と見なせます。
長くなってきたので、詳しい定義などは書きませんが、整数全体の集合Ｚ（上と同じ記号を使ってすみません）は、体ではなく「環（整数環）」という名前がついています。そして整数環Ｚ（無限の要素数）を有限（m 個）にして、mod m での演算として考えたものを剰余環 Z/mZ といいます。そして、その剰余環Z/mZ で m が素数のとき、有限体として見なすことができるのです。
問題1-3では、剰余環 Z/mZ で m が素数のときには有限体になること、問題1-4では、有限体であれば、素数 p を法とした剰余環 Z/pZ であることを言っているように思えます。
問題1-4については、ひとまずここまでとしたいと思います。
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